Точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости графика функции

В некоторых случаях, чтобы построить график функции более точно, бывает необходимо найти точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости графика.

Функция называется выпуклой вверх (вниз) в точке , если ее график в некоторой окрестности точки лежит ниже (выше) касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой, равной .

Выпуклую вниз функцию также называют вогнутой.

Пример функции, выпуклой вниз (вогнутой):

Пример функции, выпуклой вверх (или просто выпуклой):

При определении промежутков выпуклости и вогнутости мы используем следующую теорему:

Пусть функция определена на интервале и имеет непрерывную, не равную нулю в точке вторую производную. Тогда, если всюду на интервале , то функция имеет вогнутость на этом интервале, если , то функция имеет выпуклость.

Точки, которые разделяют промежутки выпуклости и вогнутости называются точками перегиба функции.

Схема исследования функции на выпуклость, вогнутость:

1. Находим вторую производную функции (это производная от первой  производной).

2. Находим точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3. Исследуем знаки второй производной справа и слева от найденных точек.

 Для примера исследуем на выпуклость, вогнутость функцию

1. Найдем первую производную функции :

2. Найдем вторую производную функции .

3. Найдем нули второй производной:

- точка перегиба.

Найдем знаки второй производной и определим промежутки выпуклости, вогнутости функции:

График нашей функции выглядит так:

Мы видим, что слева от точки функция выпуклая (если представить, что  мы "поливаем" график водой, то она с него скатывается - неспроста на этом промежутке вторая производная отрицательная).

Справа от точки функция вогнутая. (На этом промежутке вода как бы накапливается - здесь вторая производная больше нуля)

И.В. Фельдман, репетитор по математике.