В этой статье я хочу показать вам решение тригонометрического уравнения с выборкой корней. Но, самое главное, я хочу предостеречь вас от одного неравносильного перехода, который может возникнуть при решении тригонометрического неравенства.
Итак, задание такое:
1. Решите уравнение:
.
2. Найдите корни, принадлежащие промежутку
Это классическое распадающееся уравнение.
Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом существует.
Наше уравнение равносильно совокупности двух систем:
Вместо второй системы мы получили одно уравнение, так как первый множитель существует при всех действительных значениях , и ограничений на ОДЗ нет.
Решим уравнения системы:
,
Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на . (Проверим, что корни уравнения не являются корнями исходного уравнения - если , то , и левая часть не равна нулю).
Помним, что уравнение является частью системы
и его корни должны удовлетворять неравенству
.
Вот в этом месте нужно быть очень внимательными!
Правильное решение.
Решим неравенство. Левая часть неравенства обращается в ноль при . Эти точки разбивают тригонометрический круг на два промежутка - зеленый и красный, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак:Чтобы выяснить, какой именно знак, возьмем произвольную точку, принадлежащую, например, красной дуге. Пусть это будет точка, соответствующая повороту на 0 радиан.
, поэтому во всех точках красной дуги выполняется неравенство .
Итак, нас устраивают корни уравнения которые расположены на красной дуге.
Расположим на тригонометрическом круге числа и . Если принять во внимание, что число 1 чуть-чуть меньше, чем , то, число поставим чуть-чуть не доходя до , а число 2 чуть-чуть не доходя до :
Мы видим, что корень удовлетворяет условию , а корень 2 - не удовлетворяет.
Теперь найдем корни, которые принадлежат промежутку :
Это числа
Ответ: 1. ;
2.
Неверное решение.
Если мы будем решать неравенство тем же способом, что решали уравнение , то есть разделим обе части на , то получим неравенство, не равносильное исходному:
Решение этого неравенства на тригонометрическом круге выглядит так:
Мы получили решение, отличное от предыдущего. При этом решении получится, что число 2 является корнем исходного уравнения.
В чем причина ошибки? Когда мы делили обе части неравенства на , мы не учли, что может быть меньше нуля. При делении на положительное число знак неравенства не меняется, а при делении на отрицательное, меняется на противоположный.
Строго говоря, при делении на мы получили такое неравенство:
В этом неравенстве знак левой части меняется в корнях числителя, то есть в корнях уравнения , и в корнях знаменателя, то есть в корнях уравнения , что для нас уже совершенно лишнее. Поэтому мы получили неверное решение.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
нестрогий знак в системе в соответствии с промежутком?
Нет, покоренное выражение должно быть больше или равно нулю.
Мы видим, что корень 1/2 удовлетворяет условию cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}>=0, а корень 2 — не удовлетворяет. Инна Владимировна, а откуда взяли корень 2?
Элла, внимательная ты моя) Исправила.
Вы мне больше придаете уверенности!!!!…СПАСИБО!
Инна, спасибо огромное. В задачнике Мордковича совсем нет таких уравнений.
А что значит, откуда взялся корень 2?