Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Тригонометрическое уравнение с выборкой корней. Задание 13

В этой статье я хочу показать вам решение тригонометрического уравнения с выборкой корней. Но, самое главное, я хочу предостеречь вас от одного неравносильного перехода, который может возникнуть при решении тригонометрического неравенства.
Итак, задание такое:
1. Решите уравнение:

(2x^2-5x+2)sqrt{cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}}=0.

2. Найдите корни, принадлежащие промежутку delim{[}{0;{3{pi}}/2}{]}

Это классическое распадающееся уравнение.

Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом существует.

Наше уравнение равносильно совокупности двух систем:

delim{[}{matrix{2}{1}{{delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x^2-5x+2=0} {cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}>=0} }}{ }} {cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}=0} }}{ }

Вместо второй системы мы получили одно уравнение, так как первый множитель 2x^2-5x+2 существует при всех действительных значениях x, и ограничений на  ОДЗ нет.

Решим уравнения системы:

2x^2-5x+2=0

x_1=2, x_2=1/2

cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}=0

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на . (Проверим, что корни уравнения cosx=0 не являются корнями исходного уравнения - если cosx=0, то sinx<>0, и левая часть не равна нулю).

1-{sqrt{3}}tg{x}=0

tg{x}=1/{sqrt{3}}

x={pi}/6+{pi}n,~ n{in}{bbZ}

Помним, что уравнение 2x^2-5x+2=0 является частью системы

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x^2-5x+2=0} {cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}>=0} }}{ }

и его корни должны удовлетворять неравенству

cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}>=0.

Вот в этом месте нужно быть очень внимательными!

Правильное решение.

Решим неравенство. Левая часть неравенства обращается в ноль при x={pi}/6+{pi}n,~ n{in}{bbZ}. Эти точки разбивают тригонометрический круг на два промежутка - зеленый и красный, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак:Чтобы выяснить, какой именно знак, возьмем произвольную точку, принадлежащую, например, красной дуге. Пусть это будет точка, соответствующая повороту на 0 радиан.

cos{0}-{sqrt{3}}sin{0}>0, поэтому во всех точках красной дуги выполняется неравенство cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}>=0.

Итак, нас устраивают корни уравнения 2x^2-5x+2=0 которые расположены на красной дуге.

Расположим на тригонометрическом круге числа 2 и 1/2. Если принять во внимание, что число 1 чуть-чуть меньше, чем {pi}/3, то,  число 1/2  поставим чуть-чуть не доходя до  {pi}/6, а число 2 чуть-чуть не доходя до {2pi}/3:

Мы видим, что корень 1/2 удовлетворяет условию cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}>=0, а корень 2 - не удовлетворяет.

Теперь найдем корни, которые принадлежат промежутку delim{[}{0;{3{pi}}/2}{]}:

Это числа 1/2; ~{pi}/6;~{7pi}/6

Ответ: 1. x={pi}/6+{pi}n,~ n{in}{bbZ}; 1/2

2. 1/2; ~{pi}/6;~{7pi}/6

Неверное решение.

Если мы будем решать неравенство cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}>=0 тем же способом, что решали уравнение cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}=0, то есть разделим обе части на  cos{x}, то получим неравенство, не равносильное исходному:

tgx<=1/{sqrt{3}}

Решение этого неравенства на тригонометрическом круге выглядит так:

Мы получили решение, отличное от предыдущего. При этом решении получится, что число 2 является корнем исходного уравнения.

В чем причина ошибки? Когда мы делили обе части неравенства на cos{x}, мы не учли, что cos{x} может быть меньше нуля. При делении на положительное число знак неравенства не меняется, а при делении на отрицательное, меняется на противоположный.

Строго говоря, при делении на cos{x} мы получили такое неравенство: {cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}}/{cos{x}}>=0

В этом неравенстве знак левой части меняется в корнях числителя, то есть в корнях уравнения cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}=0, и в корнях знаменателя, то есть в корнях уравнения cos{x}=0, что для нас уже совершенно лишнее. Поэтому мы получили неверное решение.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Тригонометрическое уравнение с выборкой корней. Задание 13

Отзывов (7)

  1. катя

    нестрогий знак в системе в соответствии с промежутком?

    • Инна

      Нет, покоренное выражение должно быть больше или равно нулю.

  2. ella

    Мы видим, что корень 1/2 удовлетворяет условию cos{x}-{sqrt{3}}sin{x}>=0, а корень 2 — не удовлетворяет. Инна Владимировна, а откуда взяли корень 2?

    • Инна

      Элла, внимательная ты моя) Исправила.

  3. ella

    Вы мне больше придаете уверенности!!!!…СПАСИБО!

  4. Елена

    Инна, спасибо огромное. В задачнике Мордковича совсем нет таких уравнений.

  5. Наталия

    А что значит, откуда взялся корень 2?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *