Угол между касательными.
В этой статье мы рассмотрим, как решать задачи на нахождение угла между касательными.
Угол между касательными.
Пусть дана функция 
и через точку 
к графику этой функции проведены две касательные. Найти тангенс угла между прямыми:
Угол между прямыми - это меньший из двух углов, образованных этими прямыми. В нашем случае это угол 
.
Чтобы найти угол рассмотрим треугольник 
:
В треугольнике угол 
- внешний угол треугольника, он равен сумме двух углов, не смежных с ним: 
. Отсюда 
Но угол - это угол между касательной 
и положительным направлением оси 
, следовательно, 
:
Угол 
- это угол между касательной 
и положительным направлением оси , следовательно, 
:
Итак, 
Мы помним, что угол между прямыми всегда острый, и его тангенс должен быть больше нуля. В общем случае 
вполне может быть отрицательным, поэтому
формула для нахождения тангенса угла между касательными 
и 
выглядит так
Решим задачу:
Найти тангенс большего угла между касательными, проведенными из точки 
к параболе 
.
Заметим, что в этой задаче нужно найти тангенс большего угла между касательными, то есть тангенс тупого угла. Тангенсы смежных углов равны по модулю, но противоположны по знаку. Следовательно, нам нужно найти тангенс угла между касательными, и в ответе записать это значение со знаком "-".
Нужно найти коэффициенты наклона касательных, проведенных к параболе из точки . Но сначала найдем абсциссы точек касания 
и 
.
Вспомним, как находить уравнение касательной, проведенной к графику функции из данной точки, не принадлежащей графику.
Пусть 
- абсцисса точки касания.
Уравнение касательной, проведенной из точки имеет вид:
Подставим выражения для 
и 
в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :
Решим это уравнение. Упростим правую часть:
Итак, мы нашли абсциссы точек касания:
Найдем коэффициенты наклона касательных, проведенных к параболе . Для этого найдем, чему равны значения производной функции в точках касания.
Тангенс большего угла между касательными равен 
Ответ: -4
Добавить комментарий