На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH . Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и HE .
а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус этой окружности, если AB =12, CH = 5.
а) Докажем, что четырехугольник AKEB можно вписать в окружность.
Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 градусов.
Отметим одинаковым цветом равные углы:
(Сумма острых углов прямоугольного треугольника).
Тогда ∠AKE+∠EBA=
, следовательно, около четырехугольника AKEB можно описать окружность.
Начертим окружность, описанную около четырехугольника AKEB
Нам нужно найти радиус этой окружности.
Рассмотрим прямоугольный треугольник LAB. ∠LAB - вписанный угол, который опирается на диаметр LB, и, следовательно, ∠LAB=
В этом треугольнике мы знаем катет АВ. По условию задачи АВ=12. Найдем второй катет. Для этого рассмотрим четырехугольник LACH:
.
∠AHL=∠EHB=
∠ALH=
∠ALH=∠ACH, 
и четырехугольник LACH - параллелограмм:
AL=CH=5 ( По условию).
Итак, задача свелась к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника LAB:
, отсюда R=6,5
Ответ: 6,5
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Здравствуйте!
А почему точки L, H, E лежат на одной прямой?
Угол HEB=90 градусов.
Объясните по подробнее почему L, H, E лежат на одной прямой?
Угол EBH равен углу ALH, значит угол EHB равен углу AHL.
Спасибо! Очень хорошее решение. Без т.косинксов и без подобия