Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Решение системы неравенств с модулем

Решим систему неравенств с модулем из варианта №50 А. Ларина.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{delim{|}{3x+2}{|}+delim{|}{2x-3}{|}<=11} {7/{x^2-5x+6}+9/{x-3}+1<0} }}{ }

Решим каждое неравенство системы по отдельности, а потом совместим решения обоих неравенств на одной координатной прямой.

1. Решим первое неравенство системы.

{delim{|}{3x+2}{|}+delim{|}{2x-3}{|}<=11

Чтобы решить неравенство, содержащее модули, нужно раскрыть модули.

Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и найдем точки, в которых подмодульные выражения меняют знак.

3x+2=0;~~x=-{2/3}

2x-3=0;~~x=3/2

Нанесем эти значения x на числовую прямую:

Мы получили три промежутка. Найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:

Раскроем модули на каждом промежутке (мы можем граничные точки -{2/3} и  3/2 включать в оба промежутка):

а) x<=-{2/3}

На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому мы раскрываем модули с противоположным знаком:

-(3x+2)-(2x-3)<=11 (1)

Так как исходное неравенство "превращается" в неравенство (1) только при x<=-2/3, получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-(3x+2)-(2x-3)<=11} {x<=-2/3} }}{ }.

Решим первое неравенство, и получим систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>=-2} {x<=-2/3} }}{ }.

Решением системы неравенств является промежуток:

б) -{2/3}<=x<={3/2}

На этом промежутке первое подмодульное выражение положительно, а второе отрицательно, поэтому первый модуль мы раскрываем с тем же знаком, а второй с противоположным.

Получаем неравенство:

(3x+2)-(2x-3)<=11 (2)

Так как исходное неравенство "превращается" в неравенство (2) только при -{2/3}<=x<={3/2}, получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(3x+2)-(2x-3)<=11} {-{2/3}<=x<={3/2}} }}{ }

или

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=6} {-{2/3}<=x<={3/2}} }}{ }

Решением системы неравенств является промежуток:

в) x>={3/2}

На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны, поэтому оба модуля мы раскрываем с тем же знаком.

Получаем неравенство:

(3x+2)+(2x-3)<=11 (3)

Так как исходное неравенство "превращается" в неравенство (3) только при -{2/3}<=x<={3/2}, получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(3x+2)+(2x-3)<=11} {x>={3/2}} }}{ }

или

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=2,4} {x>={3/2}} }}{ }

Решением системы является промежуток:

Объединим три промежутка и получим решение первого неравенства исходной системы:

delim{[}{-2;2,4}{]}

2. Решим второе неравенство системы.

7/{x^2-5x+6}+9/{x-3}+1<0

Приведем левую часть неравенства к общему основанию. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби:

7/{(x-2)(x-3)}+9/{x-3}+1<0

{7+9(x-2)+(x-2)(x-3)}/{(x-2)(x-3)}<0

{x^2+4x-5}/{(x-2)(x-3)}<0

Решим это неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя и нанесем их на числовую ось.

x^2+4x-5=0

x_1=1;~~x_2=-5

На самом правом промежутке {x^2+4x-5}/{(x-2)(x-3)}>0, поэтому знаки расставим так:

Нас интересуют промежутки со знаком "-":

следовательно, решение этого неравенства: x{in}(-5;-1){union}(2;3)

Совместим решения первого и второго неравенств исходной системы на одной координатной прямой и найдем их пересечение:

 

Ответ: [-2;1)union(2;2,4]


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Решение системы неравенств с модулем

Отзывов (3)

  1. Anya

    а нельзя заменить модульное выражение эквивалентным ему?ну то есть возвести в квадрат,убрав знак модуля.

    • Инна

      Попробуйте

  2. клклклл

    спасибо большое

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *