Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
06 Май 2014
17 Задание (2022) (C6)ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

Использование четности функции при решении задач с параметром

Определенный класс задач с параметрами легко решаются с помощью использования четности функции. Как правило, задачи этого класса можно распознать по вопросу задачи: "При каких значениях параметра уравнение f(x)=0 имеет единственное решение?"

Прежде чем мы рассмотрим алгоритм решения этих задач, вспомним определение четной функции:

Функция f(x) называется четной, если выполняются два условия:

1. Область определения функции f(x) симметрична относительно начала координат.

2. Для любых x из области определения функции выполняется равенство f({-x})=f(x)

То есть если число x является корнем уравнения f(x)=0, то число -x также будет корнем этого уравнения.

Следовательно, если уравнение имеет хотя бы один отличный от нуля корень, то число, ему противоположное также будет корнем уравнения.

Поэтому если в задаче стоит стоит вопрос "При каких значениях параметра уравнение f(x)=0 имеет единственное решение?", то этим единственным решением будет число x=0.

Отсюда следует алгоритм решения задач этого класса задач.

1. Проверяем, является ли функция f(x) четной.

2. Если это так, находим, при каких значениях параметра  x=0 является корнем уравнения f(x)=0. Для этого  подставляем в уравнение x=0 и решаем его относительно параметра. Находим соответствующие значения параметра.

3. Подставляем в исходное уравнение последовательно найденные значения параметра и отбираем те, при которых уравнение имеет единственное решение.

Решим задачу:

Найдите все значения a, при которых уравнение sqrt{x^4+(a-5)^4}=delim{|}{x+a-5}{|}+delim{|}{x-a+5}{|} имеет единственное решение.

Решение:

1. Перенесем все слагаемые влево:

sqrt{x^4+(a-5)^4}-delim{|}{x+a-5}{|}-delim{|}{x-a+5}{|}=0

Проверим, является ли функция f(x)=sqrt{x^4+(a-5)^4}-delim{|}{x+a-5}{|}-delim{|}{x-a+5}{|} четной.

Для этого найдем значение функции в точке  -x:

f({-x})=sqrt{({-x})^4+(a-5)^4}-delim{|}{{-x}+a-5}{|}-delim{|}{{-x}-a+5}{|}=sqrt{x^4+(a-5)^4}-delim{|}{x-a+5}{|}-delim{|}{x+a-5}{|}=f(x),

так как ({-x})^4=x^4 и delim{|}{-x}{|}=delim{|}{x}{|}

Да, функция является четной, следовательно, единственным решением уравнения будет число x=0.

2. Подставим в уравнение x=0  и решим полученное уравнение относительно параметра a:

sqrt{(a-5)^4}-delim{|}{a-5}{|}-delim{|}{a-5}{|}=0

Обозначим t=delim{|}{a-5}{|}, получим уравнение:

t^2-2t=0, отсюда

t_1=0;~~t_2=2

delim{|}{a-5}{|} =0; ~~delim{|}{a-5}{|} =2

a=5;~~ a=7;~~a=3

Итак, мы получили три значения параметра, при которых один из коней исходного уравнения равен нулю. Найдем, при каком значении параметра этот корень единственный.

3. Для этого рассмотрим три случая.

1. a=5

Получаем уравнение: sqrt{x^4}-delim{|}{x}{|}-delim{|}{x}{|}=0

x^2-2delim{|}{x}{|}=0, отсюда

delim{|}{x}{|}=0 или delim{|}{x}{|}=2 - больше одного корня.

2. a=7

Получаем уравнение:

sqrt{x^4+(7-5)^4}-delim{|}{x+7-5}{|}-delim{|}{x-7+5}{|}=0

sqrt{x^4+16}-delim{|}{x+2}{|}-delim{|}{x-2}{|}=0

Раскроем модули:

а) приравняем каждое подмодульное выражение к нулю:

x+ 2=0; ~~x=-2

x-2=0; ~~x=2

б) нанесем числа -2 и 2 на числовую ось и расставим знаки подмодульных выражений:

Рассмотрим наше уравнение на каждом из трех промежутков:

1) x<=-2

sqrt{x^4+16}+(x+2)+(x-2)=0

sqrt{x^4+16}=-2x

x^4+16=4x^2, ~~x<-2

x^4-4x^2+16=0 - нет решений.

2) -2<x<=2

sqrt{x^4+16}-(x+2)+(x-2)=0

sqrt{x^4+16}=4; ~~x=0

3) x>2

sqrt{x^4+16}-(x+2)-(x-2)=0

sqrt{x^4+16}=2x

x^4+16=4x^2, ~~x>2

x^4-4x^2+16=0 - нет решений.

Итак, если a=7, то x=0, других корней нет, уравнение имеет единственное решение. Годится.

3. a=3

Получаем уравнение:

sqrt{x^4+(3-5)^4}-delim{|}{x+3-5}{|}-delim{|}{x-3+5}{|}=0

sqrt{x^4+16}-delim{|}{x-2}{|}-delim{|}{x+2}{|}=0

Получили такое же уравнение, как и в случае 2. Поэтому a=3 нас также устраивает.

Ответ: {3;7}


И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Использование четности функции при решении задач с параметром
| Отзывов (14)

Отзывов (14)

  1. Владимир
    в 17:57

    Спасибо огромное! Все четко и ясно. Один вопрос. Если функция окажется нечетной, то нужно идти по совершенно другому алгоритму? или меняется лишь часть этого?
    Ответить
    • Инна
      в 10:10

      Спасибо за вопрос. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Поэтому если f(x)=0, то f(-x)=0. То есть если нужно найти при каких значениях параметра уравнение f(x)=0 имеет единственное решение, то алгоритм такой же.
      Ответить
      • Евгений
        в 05:06

        Здравствуйте, а скажите, пожалуйста, а если в задаче требуется найти: то есть та же самая задача, только надо будет указать, при каких значения параметра a это уравнение имеет 2 корня или хотя бы 2 корня, то алгоритм будет тот же? или в последнем пункте, нужно отобрать другие значения параметра, если они будут?
        Ответить
        • Инна
          в 14:21

          Каждую задачу надо рассматривать отдельно. Я не знаю условия вашей задачи.
          Ответить
  2. Анна
    в 11:26

    а если в условии будет необходимо найти промежутки, где нет корней?
    Ответить
    • Инна
      в 11:34

      Тогда это будет другая задача.
      Ответить
      • Анна
        в 12:52

        то есть алгоритм не имеет абсолютно ничего общего с этим?
        Ответить
        • Инна
          в 12:57

          Это зависит от задачи.
          Ответить
  3. Поолина
    в 15:55

    Как всегда все подробно и ясно,этим Вы отличаетесь от многих-многих других!Огромное Вам спасибо!!!
    Ответить
  4. Арсений
    в 15:55

    Здравствуйте!
    Я бы хотел поблагодарить вас, так как часто пользовался вашими материалами при подготовке. Вы делаете очень важное дело.
    Я хотел бы уточнить — мне кажется в этой статье небольшая ошибка — разве Х всегда будет равен нулю?? Допустим у нас будет выражение f(x,a) = (x-1)^2 + f(a). Тогда при X = 2 и 0 будут корнями. А при Х=1 будет только один. Прошу прощения, в случае , если я ошибаюсь!
    Еще раз спасибо вам!
    Ответить
    • Инна
      в 16:11

      Функция, которую вы приводите в примере не является четной. График вашей функции симметричен относительно прямой х=1
      Ответить
  5. Наталия
    в 10:32

    Инна,большущее спасибо. Если есть проблемы, ищу именно ваши сайты.С удовольствием прорабатываю. Все четко, доступно , логично
    Ответить
  6. Анастасия
    в 11:33

    Здравствуйте, а почему получается, что единственное решение это х=0? Ведь раскрывая модуль х-любое число.
    Ответить
    • Анастасия
      в 11:46

      Все, поняла
      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *