В этом году во второй части ЕГЭ по математике появилось новое задание: №19. Предлагаю вам познакомиться с решением довольно сложной задачи этого типа.
Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. р. до 20 тыс. р., а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. р. и не больше 60 тыс. р. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Будем считать, что общая стоимость акций фиксирована.
Давайте для начала введем переменные:
Тогда стоимость первого пакета акций равна , второго , третьего
Теперь внимательно читаем задачу:
1. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, следовательно,
.
2. Суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета, следовательно,
.
3. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тыс. р. до 20 тыс. р., следовательно,
.
4. Цена акции из третьего пакета не меньше 42 тыс. р. и не больше 60 тыс. р., следовательно,
Получили систему условий:
В первую очередь разберемся с неравенствами.
По условию задачи нам нужно найти, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Этот процент равен
Сначала найдем при каких условиях этот процент будет наименьшим. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Поэтому чем меньше акций в третьем пакете, тем меньше суммарное количество акций в первых двух пакетах. Акций в третьем пакете тем меньше, чем больше их стоимость. Следовательно, чтобы получить наименьший процент акций из первого пакета, мы должны взять наибольшую стоимость акций из третьего, то есть берем
.
Далее. Чем дешевле акции из второго пакета, тем их больше, и тем меньше остается акций в первом пакете (суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете). Следовательно, разность между стоимостью акции из первого пакета и акции из второго пакета должна быть наименьшей. Поэтому берем
Получили систему уравнений:
В этой систем 4 уравнения и 5 неизвестных, поэтому мы не можем найти значение каждой неизвестной величины. Но мы можем найти их соотношение. Для этого вернемся вернемся к вопросу задачи. Нам нужно найти значение выражения
(1)
Рассмотрим дробь . Обратная ей дробь равна
То есть если мы найдем отношение , то задача будет решена.
Из первого, второго и четвертого уравнений системы получим
(2)
Из третьего уравнения выразим через , получим . Подставим это выражение для в первое уравнение и выразим через и :
Подставим это выражение для в уравнение (2). Получим:
Разделим обе части равенства на 20 и умножим на . Получим:
Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим:
Разделим обе части равенства на , и решим квадратное уравнение относительно :
Получим 2 значения:
и .
Так как и - натуральные числа, нам подходит только . То есть . Подставим это соотношение в выражение (1):
Итак, наименьший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете равен 12,5%.
Аналогичным образом найдем наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете.
Получим систему уравнений:
Из первого, второго и четвертого уравнений получим
(3)
Из третьего уравнения выразим через , получим . Подставим это выражение для в первое уравнение и выразим через и . Получим:
.
Подставим это выражение для в уравнение (3). Получим:
Разделим обе части равенства на 2 и умножим на . Получим:
Раскроем скобки, приведем подобные члены и перенесем слагаемые в одну сторону, получим:
Разделим обе части равенства на , умножим на -1 и решим квадратное уравнение относительно :
Получим 2 значения:
и .
Так как и - натуральные числа, нам подходит только . То есть . Подставим это соотношение в выражение (1):
Итак, наибольший процент от общего количества акций, который может содержаться в первом пакете равен 15%.
Ответ: 12,5% и 15%
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
В решении задачи явная ошибка. Если при поиске наименьшего процента количества акций первого пакета подставить стоимость акций третьего пакета не 60, а 42, то процент будет ещё меньше. Так как из первых двух уравнений самой первой системы следует, что этот искомый процент пропорционален z и обратно пропорционален x…
Ответ правильный, но, к примеру, рассуждение
Сначала найдем при каких условиях этот процент будет наименьшим. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Поэтому чем меньше акций в третьем пакете, тем меньше суммарное количество акций в первых двух пакетах. Акций в третьем пакете тем меньше, чем больше их стоимость. Следовательно, чтобы получить наименьший процент акций из первого пакета, мы должны взять наибольшую стоимость акций из третьего, то есть берем
z=60.
Далее. Чем дешевле акции из второго пакета, тем их больше, и тем меньше остается акций в первом пакете (суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете). Следовательно, разность между стоимостью акции из первого пакета и акции из второго пакета должна быть наименьшей. Поэтому берем
y-x=16
Абсолютно темное!!
Сергей, было бы очень здорово, если бы вы привели здесь светлое решение.
Дело в том, что мне такое решение неизвестно, но мое собственное решение не отвечает авторскому ответу и ошибку в нем я обнаружить не могу. Если бы Вы согласились, то я бы Вам его выслал, как говорится, на экспертизу. Что касается Вашего решения, то поверьте, я Вас не хотел обидеть, но приведенное рассуждение меня не устроило. Попросту говоря, я не понял его логики!
Сергей, я ни в коем случае на вас не обиделась, поскольку вовсе не претендую на истину в последней инстанции) Попробуйте еще раз прочитать мое решение — может, что-то прояснится. А ваше решение вы можете прислать через форму контакты.
Инна, у меня нет сомнения в том, что Ваше решение правильное. Просто в ряде мест я не понял логики рассуждения! Точнее, логику-то я понял, но не понял связи с тем, что мы хотим найти. Поэтому и написал о темноте)). Темноте для меня. А раз так, то и, скорее всего, для школьника. Видимо, в этих местах следовало более отчетливо выделить то, почему действительно, скажем, получается минимум. Мне это было не очень понятно. Дальнейшие выкладки не вызывают сомнений. Но вот рассуждение, к ним приводящее, у меня вызвало ощущение «подгона»)). Вот я и расстарался.) С уважением. Сергей.
Сергей, я подумаю)