Как построить чертеж в стереометрической задаче

При построении чертежа в стереометрической задаче мы изображаем объемную фигуру с помощью плоского чертежа. Мы это делаем с помощью параллельного проектирования.

Если вы знаете, что такое театр теней, то легко поймете, что такое параллельное проектирование.

В театре теней на объемную фигуру направляется свет, и в результате на экране (то есть на плоскости) появляется плоское изображение. Может получиться так:

Или так:

А если говорить о стереометрических фигурах, то так (представьте, что на каркас пирамиды справа направляется свет):

Остановимся на этом рисунке подробнее и дадим определение параллельной проекции точки на плоскость. Вектора  , ,  и коллинеарны и задают направление проектирования.

Проведем через вершины пирамиды прямые, параллельные этим векторам. Точки пересечения этих прямых с плоскостью являются проекциями соответствующих точек пирамиды на плоскость :

Точка - проекция точки ;

точка - проекция точки ;

точка - проекция точки

и  точка - проекция точки

Форма плоской фигуры, которую мы получаем при проектировании объемной  зависит от направления проектирования и от расположения объемной фигуры. Но мы не можем из чего угодно получить что угодно. Параллельное проектирование подчиняется определенным правилам.

А именно:

1. Параллельной проекцией прямой или отрезка  будет прямая или отрезок.

2. Параллельные проекции параллельных отрезков либо параллельны друг другу, либо лежат на одной прямой.

3. Если точка делит отрезок в данном отношении, то проекция точки будет делить проекцию отрезка в том же отношении.

То есть при параллельном проектирование сохраняется параллельность и пропорциональность отрезков.

Когда мы делаем чертеж стереометрической фигуры, мы делаем чертеж ее параллельной проекции. При этом ребра объемной фигуры, которые невидимы, мы изображаем пунктирными линиями. На рисунке выше мы видим изображение проекции каркаса треугольной пирамиды . Ребро пирамиды невидимо для нас. Соответственно, ребро   проекции мы изображаем пунктирной линией.

Внимание! При параллельном проектирование не сохраняются ни углы, ни длины отрезков, ни отношения длин неколлинеарных отрезков (то есть отрезков, которые не лежат на параллельных прямых, или на одной прямой). Поэтому глядя на изображение проекции мы не можем определить соотношение отрезков и углов.

При изображении стандартных геометрических тел на плоскости нужно следить за тем, чтобы ребра и диагонали были все видны и не накладывались друг на друга.

В общем случае удобно строить в такой последовательности.

1. Начинаем с основания фигуры.

Если в основании треугольник, то вне зависимости от вида треугольника рисуем тупоугольный не равнобедренный треугольник, например, такой:

или такой:

Если в основании прямоугольник или параллелограмм, то чертим параллелограмм. Удобно, чтобы величина острого угла на чертеже была около  , в этом случае диагональ не наложится на сторону основания:

Если в основании трапеция, то чертим не равнобедренную трапецию. Тоже стараемся острый угол сделать поострее:

Если в основании круг, то чертим эллипс:

Если в основании правильный шестиугольник, то чертим проекцию правильного шестиугольника. Следим за тем, чтобы противоположные стороны шестиугольника были параллельны. Построение проекции правильного шестиугольника, как правило, вызывает наибольшие трудности. Поэтому если в вашем распоряжении есть листок в клеточку, то удобно строить по такому образцу:

2. Далее, если нужно построить прямую призму или прямой цилиндр, то из всех вершин основания проводим равные между собой вертикальные отрезки - это боковые ребра призмы или образующие цилиндра. В случае построения куба боковое ребро равно длине большей стороны параллелограмма, который изображен в основании:

3. Соединяем концы вертикальных отрезков и получаем верхнее основание:

4. Невидимые ребра изображаем пунктирными линиями:

В случае наклонной призмы или наклонного цилиндра боковые ребра изображаются параллельными отрезками:

5. При построении пирамиды или конуса сначала находим примерное расположение проекции вершины на плоскость основания. В треугольнике это может быть точка пересечения медиан, в прямоугольнике или шестиугольнике - точка пересечения диагоналей:

Из центра основания проводим вертикальную линию и ставим на ней точку, которая будет вершиной стереометрический фигуры:

Соединяем вершину стереометрической фигуры с вершинами основания:

Изображаем невидимые ребра пунктирными линиями:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.