1. (Александр Ларин, вариант 90)
На листе бумаги в строчку записаны 11 единиц.
а) Докажите, что между этими единицами можно расположить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 54.
б) Докажите, что если единицы, стоящие на четных местах, заменить на семерки, то все равно между числами полученного набора можно расставить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 54.
в) Докажите, что между любыми 11 натуральными числами можно расположить знаки сложения, умножения и скобки так, что после выполнения действий получится число, делящееся на 54.
2. (Александр Ларин, вариант 58)
В бесконечной возрастающей последовательности натуральных чисел каждое делится хотя бы на одно из чисел 1005 или 1006, но ни одно не делится на 97. Кроме того, каждые два соседних числа отличаются не более чем на k. При каком наименьшем k такое возможно?
3. (Александр Ларин, вариант 39)
В ряд выписаны в порядке возрастания числа, делящиеся на 9: 9; 18; 27; 36...
Под каждым числом этого ряда записана сумма его цифр.
а) На каком месте во втором ряду впервые встретится число 81?
б) Что встретится раньше: четыре раза подряд число 27 или один раз число 36?
4. Решите в целых числах уравнение: 
5. Решите в натуральных числах уравнение: 
!=
6. (Александр Ларин, вариант 13)прогрессии
Несколько натуральных чисел образуют арифметическую прогрессию, начиная с четного числа. Сумма нечетных членов прогрессии равна 33, четных -- 44. Найдите эти числа.
7. (Александр Ларин, вариант 32)
На доске записано число 2. Разрешается записывать новые числа, применяя одну из операций:
1) можно увеличить любое из записанных чисел на 3;
2) можно любое из записанных чисел возвести в квадрат.
Можно ли в какой-то момент получить на доске число:
А) 2012; Б) 2011; В) 2013?
8. (Александр Ларин, вариант 37)
На шести елках сидят шесть сорок -- по одной на каждой елке. Елки растут с интервалом в 10 м. Если какая‐то сорока перелетает с одной елки на другую, то какая‐нибудь другая сорока обязательно перелетает на столько же метров, но в обратном направлении.
a) Могут ли все сороки собраться на одной елке?
б) А если сорок и елок семь?
в) А если елки стоят по кругу?
9. (Александр Ларин, вариант 11)
Найдите все целые значения 
, для каждого из которых число 
будет рациональным.
10. (Александр Ларин, вариант 81)
Партия проходит в Думу, если по результатам голосования набирает более 6% голосов избирателей. Для каждой такой партии найдутся две другие партии, каждая из которых набрала меньшее число голосов, но суммарно они набрали больше голосов.
а) Могут ли принять участие в выборах 6 партий?
б) Могут ли принять участие в выборах 5 партий?
в) Пусть m‐количество партий, прошедших в Думу, n‐количество партий, не прошедших в Думу. Найдите максимальное значение выражения m/n.
Инна добрый день а я у вас не нахожу видеолекций по 19 заданию егэ именно ваших на покупку. Если они есть направьте мне пожалуйста ссылку)
Наталья, к сожалению, у меня их нет.