Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Видеотека. Задание 21 (С6). Часть 2

11. (Александр Ларин, вариант 26)

В школе, где учатся Поля, Маня и Дуня есть длинный коридор, вдоль одной из стен которого расположен длинный ряд из n ячеек, занумерованных натуральными числами от 1 до n, закрывающихся на замки, в которых школьники могут хранить свои личные вещи. Однажды, придя в школу в выходной день, Поля обнаружила все ячейки открытыми. Она стала обходить ряд ячеек с начала до конца, закрывая каждую вторую ячейку. Достигнув конца ряда, она развернулась и снова стала закрывать на замок каждую вторую ячейку из тех, которые были еще открыты.

Обозначим f(n) номер последней открытой ячейки. Например, если количество ячеек n=15, то f(15)=11, как показано на рисунке:

а) Найдите f(50)

б) Докажите, что не существует натурального числа n такого, что f(n)=2013

в) Докажите, что существует бесконечное множество натуральных чисел n таких, что f(n)=f(50)

 

12. (Александр Ларин, вариант 7)

В вершинах треугольника записано по натуральному числу, на каждой стороне - произведение чисел, записанных в ее концах, а внутри треугольника - произведение чисел, записанных в его вершинах. Сумма всех семи чисел равна 1000. Какие числа записаны в вершинах треугольника?

 

13. (Александр Ларин, вариант 28)

У Кости была кучка из 100 камешков. Каждым ходом он делил какую-то из кучек на две меньших, пока у него в итоге не оказалось 100 кучек по одному камешку.

а) возможно ли, что в какой-то момент в каких-то 30 кучках было в сумме ровно 60 камешков;

б) возможно ли, что в какой-то момент в каких-то 20 кучках было в сумме ровно 60 камешков?

в) Мог ли Костя действовать так, чтобы ни в какой момент не нашлось 19 кучек, в которых в сумме ровно 60 камешков?

 

14. (Александр Ларин, вариант 36)

На плоскости даны 8 отрезков. Длина каждого отрезка является натуральным числом, не превосходящим 20. Пусть n - число различных треугольников, которые можно составить из этих отрезков. Один и тот же отрезок может использоваться для разных треугольников, но не может использоваться дважды для одного треугольника.

а) может ли n=60?

б) может ли n=55?

в) найдите наименьшее возможное значение n,  если среди данных отрезков нет трех равных.

 

15. (Александр Ларин, вариант 34)

Среди любых десяти из шестидесяти школьников найдется три одноклассника. Обязательно ли среди всех шестидесяти школьников найдется

а) 15 одноклассников;

б) 16 одноклассников?

 

16. (Александр Ларин, вариант 32)

Банкомат обменивает монеты: дублоны на пистоли и наоборот. Пистоль стоит s дублонов, а дублон - 1/s  пистолей, где s - не обязательно целое. В банкомат можно вбросить любое число монет одного вида, после чего он выдаст в обмен монеты другого вида, округляя до ближайшего целого числа (если ближайших чисел два, то выбирается большее).

а) Может ли быть так, что обменяв сколько-то дублонов на пистоли, а затем обменяв полученные дублоны на пистоли, мы получим больше дублонов, чем было в начале?

б) Если да, то может ли случиться, что полученное число дублонов еще увеличится, если проделать с ними такую же операцию?

 

17. (Пробный вариант СПб)

Длины сторон прямоугольника - натуральные числа, а его периметр равен 4000. Известно, что длина одной стороны прямоугольника равна n% от длины другой стороны, где n -  также натуральное число.

а) Какое наибольшее значение может принимать площадь прямоугольника?

б) Какое наименьшее значение может принимать площадь прямоугольника?

в) Найдите все возможные значения, которые может принимать площадь прямоугольника, если дополнительно известно, что n<100.

 

Видеотека. Задание 21 (С6). Часть 2

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *