Решим систему уравнений с параметром (А. Ларин, вариант 98)
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
имеет ровно одно решение.
Посмотрим внимательно на систему. В первом уравнении системы слева стоит , а правая часть не зависит от параметра. То есть мы можем рассматривать это уравнение как уравнение функции
и можем построить график этой функции.
Второе уравнение системы
зависит от параметра, и, выделив в левой части уравнения полный квадрат, мы получим уравнение окружности.
Так что имеет смысл построить графики каждого уравнения, и посмотреть, при каком значении параметра эти графики имеют одну точку пересечения.
Начнем с первого уравнения. Для начала раскроем модули. Для этого приравняем каждое подмодульное выражение к нулю, чтобы найти точки, в которых происходит смена знака.
Первое подмодульное выражение меняет знак при , второе - при .
Нанесем эти точки на координатную прямую, и найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:
Заметим, что при и уравнение не имеет смысла, поэтому эти точки выкалываем.
Теперь раскроем модули на каждом промежутке. (Вспомним: если подмодульное выражение больше или равно нулю, то мы раскрываем модуль с тем же знаком, а если меньше нуля, то с противоположным.)
1.
Оба подмодульных выражения отрицательны, следовательно, оба модуля раскрываем с противоположным знаком:
То есть при исходная функция имеет вид
2.
На этом промежутке первое подмодульное выражение отрицательно, а второе положительно, следовательно получаем:
- на этом промежутке функция не существует.
3.
На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны, раскрываем оба модуля с тем же знаком. Получаем:
То есть при исходная функция имеет вид
Итак, мы получили график функции
Теперь займемся вторым уравнением:
Выделим в левой чаcти уравнения полный квадрат, для этого прибавим к обеим частям уравнения число 4:
При конкретном значении параметра график этого уравнения представляет собой окружность с центром в точке с координатами , радиус которой равен 5. При различных значениях мы имеем серию окружностей:
Будем двигать окружность снизу вверх до тех пор, пока она не коснется левой части графика первой функции. На рисунке эта окружность красного цвета. Центр этой окружности - точка , ее координаты (-2;-3). Дальше при движении вверх окружность имеет одну точку пересечения с левой частью графика функции, то есть система имеет единственное решение.
Продолжаем двигать окружность вверх пока она не коснется правой части графика первой функции. Это произойдет когда центр окружности будет в точке с координатами (-2;0) - на рисунке эта окружность синего цвета.
При движении дальше вверх окружность будет пересекать и левую, и правую части графика первой функции, то есть окружность будет иметь две точки пересечения с графиком первой функции, а система будет иметь два решения. Это ситуация продолжается до тех пор, пока центр окружности не окажется в точке с координатами (-2; 5) - эта окружность зеленого цвета. В этой точке окружность касается левой части графика и пересекает правую. То есть система имеет одно решение.
Двигаем окружность дальше. Последний раз она касается правой части графика функции, когда имеет центр в точке с координатами (-2;6).
Итак, система имеет единственное решение при (-3;0][5;6)
Спасибо, Инна! Очень доступно и понятно изложено решение.
Я вас люблю Инна
Инночка,спасибо!Как репетитор, покажу это решение ученикам.И думаю,что надо подчеркнуть,что подмодульное выражение приравниваем к нулю для нахождения контрольных(критических) точек.
Инночка,спасибо!Как репетитор покажу ученикам это решение.Но,думаю,что надо добавить: подмодульное выражение приравнивается к нуля для нахождение контрольных (критических) точек.
Спасибо!