Решим задачу:
Окружность с центром в точке (4;1) касается параболы . Найдите абсциссу точки касания.
Построим чертеж к нашей задаче
Точки, лежащие на параболе, имеют координаты .
Для нас важно, что расстояние от центра окружности до точки касания меньше, чем расстояние от центра окружности до любой другой точки параболы:
Итак, найдем, при каком значении длина отрезка принимает наименьшее значение.
Зависимость длины отрезка от выражается следующей формулой:
Найдем, при каком значении функция принимает наименьшее значение.
Так как функция является возрастающей, следовательно, меньшему значению значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть функция принимает наименьшее значение в той же точке, что и подкоренное выражение, то есть функция .
Найдем, в какой точке функция принимает наименьшее значение.
Найдем производную:
Найдем нули производной:
Выясним знаки производной. При производная положительна:
Мы получили, что - точка минимума функции, то есть при длина отрезка минимальна, и абсцисса точки касания равна 2.
Ответ: 2
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Добавить комментарий