Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

Решение однородных тригонометрических неравенств

Решим систему тригонометрических неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{sin^{2}x-3sinxcosx+2cos^{2}x>=0} {2x^2-{pi}x-{pi}^2<=0} }}{ }

Начнем со второго неравенства.

2x^2-{pi}x-{pi}^2<=0

Это квадратное неравенство относительно x.

D={pi}^2-4*2*({-{pi}^2})=9{pi}^2

sqrt{D}=3{pi}

x_1={{pi}-3{pi}}/4=-{pi}/2

x_1={{pi}+3{pi}}/4={pi}

Ветви параболы 2x^2-{pi}x-{pi}^2 направлены вверх, следовательно, решением неравенства будет промежуток:

[-~{pi}/2;{pi}]

Изобразим его на тригонометрическом круге:

Теперь решим второе неравенство:

sin^{2}x-3sinxcosx+2cos^{2}x>=0

Я приведу два решения: сначала распространенное решение, которое содержит ошибку, а потом правильное.

Итак, сначала решение с ошибкой.

Левая часть этого тригонометрического неравенства наводит на мысль решать его так же, как однородное тригонометрическое уравнение: разделить обе части на cos^{2}x. При cos^{2}x=0 левая часть не равна нулю, к тому же cos^{2}x - величина неотрицательная, поэтому, вроде как ничего страшного произойти не должно.

Делим:

{sin^{2}x}/{cos^{2}x}-{3sinxcosx}/{cos^{2}x}+{2cos^{2}x}/{cos^{2}x}>=0

Получаем:

tg^{2}x-3tgx+2>=0

Вводим замену t=tgx и решаем квадратное неравенство относительно t

t_1=1;~~t_2=2

Ветви параболы t^{2}-3t+2 направлены вверх, следовательно неравенство t^{2}-3t+2>=0 верно при t<=1;~~t>=2

Возвращаемся к исходной переменной, получаем tgx<=1;~~tgx>=2

На тригонометрической окружности решение выглядит так (заметим, что  при x={pi}/2+{pi}k,~~k{in}{bbZ}~~~tgx не определен, поэтому эти точки мы выкалываем):

Мы видим, что что точки, соответствующие значениям x={pi}/2+2{pi}k,~~k{in}{bbZ} выколоты, и решением неравенства будут промежутки:

[arctg2+{pi}k;{pi}/2+{pi}k)union({pi}/2+{pi}k;{5{pi}}/4+{pi}k],~~k{in}{bbZ}

Совместим это решение с решением первого неравенства:

и получим ответ: (-~{pi}/2;{pi}/4]union[arctg2;{pi}/2)union({pi}/2;{pi}]

Теперь найдем решение второго неравенства другим способом.

Будем искать решение неравенства sin^{2}x-3sinxcosx+2cos^{2}x>=0 с помощью метода интервалов. Сначала найдем при каких значениях неизвестного левая часть равна нулю, то есть решим уравнение  sin^{2}x-3sinxcosx+2cos^{2}x=0. Так же как в предыдущем решении разделим на cos^{2}x и решим квадратное уравнение относительно tgx.

Получим tgx=1,~~tgx=2. То есть в точках x={pi}/4+{pi}k,~~k{in}{bbZ} и x=arctg2+{pi}k,~~k{in}{bbZ} левая честь неравенства равна нулю.

Изобразим эти точки на тригонометрической окружности. Они разбивают ее на четыре промежутка. В этих точках происходит смена знака выражения, стоящего в левой части неравенства.

Выясним знаки этих выражений. Возьмем пробную точку x=0. При x=0 sin^{2}0-3sin0cos0+2cos^{2}0>0 , следовательно, знаки распределяются таким образом:

и решением неравенства

sin^{2}x-3sinxcosx+2cos^{2}x>=0 будут следующие промежутки:

[arctg2+{pi}k;{5{pi}}/4+{pi}k],~~k{in}{bbZ}

Мы видим, что в этом случае точки {pi}/2+{pi}k,~~k{in}{bbZ} принадлежат множеству решений неравенства. И, совместив решение второго неравенства с решением первого,

получаем правильный ответ:

[-{pi}/2;{pi}/4]union[arctg2;{pi}]

Что же произошло? При делении исходного неравенства на cos^{2}x мы сузили ОДЗ. Мы исключили из решения те значения x, при которых cosx=0, при том, что исходное неравенство имеет смысл при этих значениях x. То есть мы потеряли решения.

Какой же урок нам надо извлечь?

При решении однородных тригонометрических неравенств поступаем следующим образом:

1. Решаем соответствующее  однородное уравнение и находим точки, в которых левая часть неравенства меняет знак.

2. Исследуем знаки.

3. Записываем ответ.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Решение однородных  тригонометрических неравенств

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *