Решим систему тригонометрических неравенств:
Начнем со второго неравенства.
Это квадратное неравенство относительно .
Ветви параболы направлены вверх, следовательно, решением неравенства будет промежуток:
[]
Изобразим его на тригонометрическом круге:
Теперь решим второе неравенство:
Я приведу два решения: сначала распространенное решение, которое содержит ошибку, а потом правильное.
Итак, сначала решение с ошибкой.
Левая часть этого тригонометрического неравенства наводит на мысль решать его так же, как однородное тригонометрическое уравнение: разделить обе части на . При левая часть не равна нулю, к тому же - величина неотрицательная, поэтому, вроде как ничего страшного произойти не должно.
Делим:
Получаем:
Вводим замену и решаем квадратное неравенство относительно
Ветви параболы направлены вверх, следовательно неравенство верно при
Возвращаемся к исходной переменной, получаем
На тригонометрической окружности решение выглядит так (заметим, что при не определен, поэтому эти точки мы выкалываем):
Мы видим, что что точки, соответствующие значениям выколоты, и решением неравенства будут промежутки:
[)(]
Совместим это решение с решением первого неравенства:
и получим ответ: (][)(]
Теперь найдем решение второго неравенства другим способом.
Будем искать решение неравенства с помощью метода интервалов. Сначала найдем при каких значениях неизвестного левая часть равна нулю, то есть решим уравнение . Так же как в предыдущем решении разделим на и решим квадратное уравнение относительно .
Получим . То есть в точках и левая честь неравенства равна нулю.
Изобразим эти точки на тригонометрической окружности. Они разбивают ее на четыре промежутка. В этих точках происходит смена знака выражения, стоящего в левой части неравенства.
Выясним знаки этих выражений. Возьмем пробную точку . При , следовательно, знаки распределяются таким образом:
и решением неравенства
будут следующие промежутки:
[]
Мы видим, что в этом случае точки принадлежат множеству решений неравенства. И, совместив решение второго неравенства с решением первого,
получаем правильный ответ:
[][]
Что же произошло? При делении исходного неравенства на мы сузили ОДЗ. Мы исключили из решения те значения , при которых , при том, что исходное неравенство имеет смысл при этих значениях . То есть мы потеряли решения.
Какой же урок нам надо извлечь?
При решении однородных тригонометрических неравенств поступаем следующим образом:
1. Решаем соответствующее однородное уравнение и находим точки, в которых левая часть неравенства меняет знак.
2. Исследуем знаки.
3. Записываем ответ.
Добавить комментарий