Окружность. Касательная. Вписанные углы.
В этой статье мы рассмотрим решение некоторых прототипов задач из Задания 10 ОГЭ (ГИА) по математике (или Задания 6 ЕГЭ по математике).
Предлагаю вам решить эти задачи самостоятельно, а затем свериться с решением.
Вспомним свойства вписанного угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны содержат хорды, называется вписанным углом. Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Угловая величина дуги измеряется величиной центрального угла, который опирается на эту дугу:
∠∠
Важно: вписанные углы, опирающиеся на равные дуги равны между собой. В частности, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.
Рассмотрим решение задач.
Решение.
показать
Рассмотрим треугольник :
, следовательно, треугольник - равнобедренный.
∠∠
Угол и угол - вертикальные. Вертикальные углы равны.
∠∠
Ответ: 104
Решение.
показать
Решение.
показать
Чтобы решить эту задачу нам нужно вспомнить два факта:
1. Вписанный угол, который опирается на диаметр равен . И наоборот, если вписанный угол равен , то он опирается на диаметр. Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около треугольника окружности, то есть
2. центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит в середине гипотенузы.
Найдем по теореме Пифагора гипотенузу :
Отсюда и
Ответ: 2,5
Решение.
показать
∠ опирается на дугу . Найдем величину этой дуги.
∠ опирается на дугу . Вписанный угол равен половине величины дуги, на которую он опирается, следовательно, .
диаметр окружности, следовательно, угловая величина дуги
Отсюда
Тогда ∠
Ответ: 54
Решение.
показать
Решение.
показать
Проведем диагональ ромба . Отрезки являются радиусами окружности, поэтому .
Стороны ромба равны между собой, поэтому треугольники и - равносторонние, и все углы этих треугольников равны :
Следовательно, ∠
Ответ: 120
Решение.
показать
Вспомним свойства касательных.
1. Отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки равны между собой. То есть
2. Радиус окружности, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной.
То есть ∠ ∠:
Получаем, что∠∠
Найдем ∠. Для этого рассмотрим равнобедренный треугольник .
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны и сумма углов треугольника равна 180 градусов:
Отсюда ∠
Следовательно, ∠
Ответ: 36
Решение.
показать
Длина дуги пропорциональна величине центрального угла, который на нее опирается.
Центральный угол, который опирается на большую дугу равен
Пусть длина большей дуги равна .
Составим пропорцию:
отсюда
Ответ: 441
Решение.
показать
Для решения это задачи нам понадобится еще одна теорема:
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. То есть
Найдем .
Следовательно,
Отсюда
Ответ: 40
Решение.
показать
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть. То есть
Пусть радиус окружности равен . Тогда
Получаем уравнение:
Ответ: 75
Решение.
показать
Радиус окружности, проведенный к точке касания перпендикулярен касательной. Хорда параллельна касательной, следовательно, перпендикулярна .
Нам нужно найти длину .
Найдем . Для этого рассмотрим треугольник . , то есть этот треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике высота является медианой, то есть
найдем по теореме теореме Пифагора из прямоугольного треугольника :
Ответ: 160
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
к задаче 324676: треугольник АОВ равнобедренный, угол ОВА равен углу ОАВ значит угол СВО равен 75-43=32 из треугольника ВОС угол ВСО равен углу ОВС и равен 32
Спасибо.