В этой статье мы рассмотрим решение некоторых прототипов задач из Задания 11 ОГЭ (ГИА) по математике (или Задания 7 ЕГЭ по математике).
Предлагаю вам решить эти задачи самостоятельно, а затем свериться с решением.
Решение других задач по этой теме смотрите часть 2
Решение.
1 способ.
Квадрат- это частный случай ромба. Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
Диагонали квадрата равны, следовательно 
Ответ: 0,5
2 способ.
Площадь квадрата со стороной 
равна
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
:
По теореме Пифагора 
Вспомним, что мы ищем площадь квадрата, а не его сторону, поэтому нам не нужно искать значение . Подставим значение в формулу площади.
Ответ: 0,5
Решение.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
Ответ: 24
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Мы знаем основания трапеции, нам нужно найти ее высоту. Опустим высоты из вершин В и D.
Так как по условию трапеция равнобедренная и 
, прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе и катету. Следовательно, 
Найдем высоту 
из прямоугольного треугольника .
Ответ: 160
Решение.
В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне равна 180 градусов. ( по свойству односторонних углов):
В нашей задаче ∠
Тогда ∠
Ответ: 120
Решение.
В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180 градусов ( по свойству односторонних углов)
Кроме того, в равнобедренной трапеции углы при основании равны.
В нашей задаче данные углы не могут быть углами, прилежащими к одной стороне, так как их сумма равна 140 градусов, а не 180. Следовательно, это углы, прилежащие к основанию. Углы при основании равны, следовательно, каждый угол равен 
Угол 
- острый, нам нужно найти больший угол трапеции, то есть тупой угол - второй угол, прилежащий к боковой стороне. Второй угол равен 
Ответ: 110
Решение.
В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому
∠
∠
Мы получили угол, больший 90 градусов, следовательно, это угол при меньшем основании трапеции и чертеж не очень соответствует условию задачи. Но с точки зрения алгоритма решения это не имеет большого значения.
Найдем угол 
по теореме о сумме углов треугольника из треугольника .
∠
∠
∠
∠
∠
Ответ: 52
Решение.
Проведем диагональ 
. Она разобьет данные четырехугольник на два равных треугольника и 
(треугольники равны по трем сторонам)
Следовательно,
∠∠
Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов.
Поэтому ∠∠
Отсюда 2∠
И ∠
Ответ: 95
Решение.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
Найдем вторую диагональ ромба.
Вспомним свойства диагоналей ромба.
Диагонали ромба:
1. Взаимно перпендикулярны.
2. Точкой пересечения делятся пополам.
3. Являются биссектрисами углов.
Найдем 
по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника 
:
Отсюда 
, тогда
Ответ: 24
Решение.
Так как в условии дан угол между сторонами, будем искать площадь ромба по такой формуле:
Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:
Найдем сторону ромба. Так как стороны ромба равны между собой, чтобы найти длину одной стороны, нужно периметр ромба разделить на 4.
Ответ: 50
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Мы знаем основания трапеции, осталось найти высоту. Опустим высоту из вершины 
и рассмотрим прямоугольный треугольник :
Из условия мы знаем, что 
. Нам нужно найти противолежащий катет 
.
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: 
То есть 
.
Отсюда 
.
Итак:
Ответ: 30
Решение.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту:
Мы знаем основания трапеции, осталось найти высоту. Опустим высоту из вершины и рассмотрим прямоугольный треугольник :
Нам нужно найти противолежащий катет .
Противолежащий катет связан с гипотенузой через синус острого угла.
Синус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
В условии дан косинус угла А: 
Найдем синус угла А с помощью основного тригонометрического тождества:
отсюда
И решение сводится к предыдущей задаче:
.
Отсюда .
Итак:
Ответ: 30
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Уважаемая Инна! В решении предпоследней задачи допущена ошибка. h = 2, а не 18. Треугольника со сторонами 6, 18 и 3 не существует. Площадь трапеции равна 30.
Конечно! большое спасибо.