Решите неравенство:
1. Приведем логарифмы к одному основанию. Для этого записываем деятичную дробь в виде обыкновенной: , а затем выносим показатель степени за знак логарифма.
2. Введем замену переменной. Пусть
Получим квадратное уравнение относительно :
По теореме Виета найдем корни квадратного трехчлена:
Нанесем эти точки на числовую ось и расставим знаки. Так как старший коэффициент квадратного трехчлена больше нуля, ветви параболы направлены вверх, получаем такие знаки:Неравенство строгое, поэтому точки "выкалываем".
Нас интересует промежуток, на котором трехчлен больше нуля:
Итак, мы получили, что или
Вернемся к исходной переменной. Получим:
(1)
или (2)
Решим первое неравенство:
Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2 и перейдем к равносильной системе (не забываем, что выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть строго больше нуля):
Основание логарифма больше единицы, поэтому при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма знак неравенства сохранятся.
Чтобы решить систему неравенств, нужно решить каждое неравенство системы на своей координатной прямой, а потом совместить решения не одной координатной прямой.
Итак.
Корни квадратного трехчлена в левой части неравенства:
Ветви параболы направлены вниз, поэтому знаки:
Корни квадратного трехчлена в левой части неравенства:
Ветви параболы направлены вниз, поэтому знаки:
Совместим решения неравенств на одной координатной прямой:
Итак, решение неравенства (1):
Решим неравенство (2):
Представим правую часть в виде логарифма по основанию 2.
Основание логарифма больше единицы, поэтому при переходе к выражениям, стоящим под знаком логарифма знак неравенства сохранятся.
Условие на ОДЗ следует из этого неравенства.
Перенесем все слагаемые вправо и приведем подобные члены. Получим:
При отрицательном дискриминанте при любом значении выполняется неравенство , поэтому неравенство не имеет решений.
Итак, ответом к исходному неравенству будет решение неравенства (1):
Ответ:
спасибо большое!!!
Спасибо, Инна! С большим удовлетворением работаю с Вашими материалами.