Решим логарифмическое неравенство:
Будем решать это неравенство с помощью обобщенного метода интервалов. Для этого:
1. Найдем ОДЗ
2. Найдем корни числителя и знаменателя.
3. Нанесем их на числовую ось и расставим знаки.
4. Учтем ОДЗ.
Итак, ОДЗ:
1. Выражение, стоящее под знаком логарифма строго больше нуля. Знаменатель дроби не равен нулю. Получаем систему:
Отсюда или
Получили ОДЗ исходного неравенства:
или
2. Корни знаменателя мы мы уже нашли:
Найдем корни числителя, для этого решим уравнение:
Приведем логарифмы к основанию 5. Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию:
Так как ОДЗ мы уже нашли, можем вынести показатели степеней за знак логарифма, не ставя знак модуля.
(Напомню, что в общем случаем мы пользуемся формулами:
)
Приведем к общему знаменателю:
Вынесем за скобку, получим:
Заметим, что первый множитель в этом произведение - числовое выражение, не равное нулю. Произведение равно нулю, если второй множитель равен нулю:
Итак, мы нашли корни числителя () и корни знаменателя (). Нанесем их на числовую ось. Заметим, что корень -1 присутствует и в числителе, и в знаменателе. Это корень четной кратности, в нем не происходит смены знака. Выделим его. В случае нестрого неравенства при нанесении на числовую ось корни числителя закрашиваем, а корни знаменателя "выкалываем":
После преобразования числителя мы привели исходное неравенство к виду:
(1)
Выясним знак выражения, стоящего в левой части неравенства на самом правом промежутке. Для этого определим его знак, например, при
Заметим, что первый множитель - это числовое выражение.
Выясним его знак.
, так как и
Найдем знак разности
Следовательно, дробь .
При второй множитель
Произведение двух отрицательных множителей больше нуля, следовательно, на промежутке левая часть неравенства (1) больше нуля. Расставим знаки:
На интересуют промежутки, над которыми стоит знак "+"
Теперь учтем ОДЗ:
или
Оценим значения выражений и
Получаем:
Получили решение неравенства:
Ответ: [)
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Здравствуйте! Мне кажется небольшая опечатка в п.1 — неравенство для ОДЗ взято нестрогим.
Да, спасибо, исправила.