Решим задание 16 из Досрочного ЕГЭ по математике.
В кубе все ребра равны 5. На ребре отмечена точка так, что . Через точки и проведена плоскость , параллельная прямой .
1. Докажите, что , где - точка пересечения плоскости с ребром .
2. Найдите объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью .
1. Построим сечение.
Соединим отрезком точки и . Так как эти точки принадлежат плоскости сечения, следовательно отрезок принадлежит плоскости сечения.
Проведем через точку прямую, параллельную прямой . Мы знаем, что если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Проведем диагональное сечение . Прямая принадлежит плоскости этого сечения:
В плоскости через точку проведем прямую , параллельную - это линия пересечения плоскости и искомой плоскости . Точка принадлежит верхней грани куба:
Проведем прямую через точки и до пересечения с ребром . Получим точку . Соединим ее с точкой и получим сечение куба:
2. Докажем, что . Нанесем данные задачи на чертеж:
Так как , (По теореме Фалеса)
Сделаем выносной чертеж верхнего основания куба:
Треульники и подобны по двум углам. Следовательно, , то есть , соответственно, . Получили
Что и требовалось доказать.
3. Найдем объем большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью .
Очевидно, что это часть куба, которая расположена под плоскостью . Она получится, если отрезать от куба пирамиду :
Найдем объем пирамиды :
Объем куба равен
Объем части куба, расположенной под плоскостью равен
Ответ:
Большое спасибо, Инна! С удовольствием и пользой для себя применяю Ваши материалы.
Я рада, Ольга!
Инна, большое спасибо за подробное решение.
Инна, спасибо огромное за очень подробное и понятное решение заданий!Такой замечательный ваш сайт!
Огромное спасибо.
Благодарю. Спасибо Вам за то, что уделили нам время и решили столь сложные задания.