Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
17 Июн 2015
14 Задание (2022) (C3)Диагностические работыПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Задание 17 (С3) из реального ЕГЭ по математике 4.06.2015

Решите неравенство:

{3/{(2^{2-x^2}-1)^2}}~-~{4/{2^{2-x^2}-1}}+1>=0

Решение.

Заметим, что неизвестное x входит в неравенство в составе выражения 1/{2^{2-x^2}-1}

Введем замену: t=1/{2^{2-x^2}-1}

Получим неравенство относительно переменной t:

3t^2-4t+1>=0

Отсюда

t<=1/3 или t>=1

Вернемся к исходной переменной. Получим:

1/{2^{2-x^2}-1}<=~1/3 или 1/{2^{2-x^2}-1}>=1

Получили совокупность неравенств: delim{[}{matrix{2}{1}{{1/{2^{2-x^2}-1}<=~1/3} {1/{2^{2-x^2}-1}>=~1} }}{ }

Решим каждое неравенство по отдельности.

{1/{2^{2-x^2}-1}}<=~1/3

{1/{2^{2-x^2}-1}}-~1/3<=~0

{{3-{2^{2-x^2}}+1}/{3({2^{2-x^2}-1})}}<=0

{{4-{2^{2-x^2}}}/{3({2^{2-x^2}-1})}}<=0

Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки.

Корни числителя:

4-{2^{2-x^2}}=0

2^{2-x^2}=4

2^{2-x^2}=2^2

2-x^2=2

x^2=0

x=0 - отметим, что это корень четной кратности, в этой точке не происходит смены знака.

Корни знаменателя:

2^{2-x^2}-1=0

2^{2-x^2}=1

2-x^2=0

x^2=2

x={pm}sqrt{2}

Наносим корни на числовую ось и расставляем знаки. Легко проверить, что на самом правом промежутке (например, при x=10) {{4-{2^{2-x^2}}}/{3({2^{2-x^2}-1})}}<0:

Решим второе неравенство совокупности.

{1/{2^{2-x^2}-1}>=~1}

{1/{2^{2-x^2}-1}-~1>=0}

{1-{2^{2-x^2}+1}}/{2^{2-x^2}-1}>=0

{2-{2^{2-x^2}}}/{2^{2-x^2}-1}>=0

Найдем корни числителя:

{2-{2^{2-x^2}}=0

{2^{2-x^2}}=2

2-x^2=1

x^2=1

x={pm}1

Корни знаменателя:

x={pm}{sqrt{2}}

Наносим корни на числовую ось и расставляем знаки. Легко проверить, что на самом правом промежутке (например, при x=10),  {2-2^{2-x^2}}/{2^{2-x^2}-1}<0:

Теперь совместим решения обоих неравенств на одной координатной прямой. Так как мы находим решение совокупности неравенств:

delim{[}{matrix{2}{1}{{1/{2^{2-x^2}-1}<=~1/3} {1/{2^{2-x^2}-1}>=~1} }}{ },

мы ищем те значения неизвестного, которые удовлетворяют хотя бы одному неравенству совокупности. То есть на координатной прямой нас интересуют промежутки, над которыми проходит хотя бы одна "стрелочка". Не забываем отдельно стоящий корень x=0.

 

Ответ: (-{infty};-sqrt{2})union(-sqrt{2};-1]union{0}union[1;sqrt{2})union(sqrt{2};{infty})

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Задание 17 (С3) из реального ЕГЭ по математике 4.06.2015
| Один отзыв

Один отзыв

  1. Юрий
    в 20:40

    Я за новую переменную взял то, что у Вашей переменной в знаменателе (меньше получается дробей). Спасибо!
    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *