В этой статье опубликованы интересные задачи на квадратичную функцию. Задачи взяты из лекции Агаханова Назара Хангельдыевича, КПК МФТИ.
Прежде приступать к решению задач, рекомендую повторить свойства квадратичной функции.
1. Пусть - квадратный трехчлен. Известно, что уравнение имеет единственное решение, и уравнение также имеет единственное решение. Доказать, что уравнение не имеет решений.
Решение.
показать
Пусть квадратный трехчлен имеет вид
Тогда уравнение имеет вид , или (1)
И уравнение имеет вид , или (2)
Надо доказать, что уравнение не имеет решений, то есть уравнение (3) не имеет решений.
Квадратное уравнение имеет единственное решение, если , и не имеет решений, если .
Для уравнение (1) , по условию задачи (4)
Для уравнения (2) , по условию задачи (5)
Нам нужно доказать, что
Преобразуем равенства (4) и (5):
или (6)
или (7)
Умножим равенство (7) на 2 и сложим с равенством (6)
Получим , отсюда
Что и требовалось доказать.
Графическое решение.
Парабола имеет с прямыми и одну общую точку, то есть касается этих прямых. Это возможно в следующих случаях:
Очевидно, что в обоих случаях парабола не пересекает ось ОХ, следовательно, уравнение не имеет решений.
2. Пусть график квадратичной функции пересечен прямой :
доказать, что
Решение:
показать
Пусть уравнение прямой , уравнение параболы .
Точки - корни уравнения , то есть уравнения
точка - точка пересечения прямой с осью ОХ.
То есть нужно доказать, что
Воспользуемся теоремой Виета.
Теорема Виета используется при решении задач, в которых присутствует квадратный трехчлен, но нужно найти не корни квадратного трехчлена, а их соотношение.
Теорема Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Для уравнения справедливо:
Запишем теорему Виета для уравнения :
Тогда
Что и требовалось доказать.
3. Доказать, что точки пересечения двух парабол со взаимно перпендикулярными осями симметрии лежат на одной окружности:
Доказательство.
показать
Введем систему координат с центром в точке пересечения осей симметрии.
Пусть в этой системе координат уравнение синей параболы имеет вид
а уравнение красной параболы имеет вид
При этом и .
Координаты точек пересечения парабол удовлетворяют системе уравнений:
Уравнение окружности в общем случае имеет вид:
где - координаты центра окружности, а - ее радиус.
Попытаемся из этой системы получить уравнение окружности.
Разделим первой уравнение системы на , а второе на :
Сложим уравнения системы. Получим уравнение:
Координаты точек пересечения парабол должны удовлетворять этому уравнению.
Получим уравнение окружности, для этого перенесем все слагаемые в одну стороны и выделим полные квадраты:
Получаем:
, где
Мы получили уравнение окружности, следовательно, точки пересечения данных парабол лежат на одной окружности.
4. Пусть парабола вида пересечена двумя параллельными прямыми и , и - абсциссы точек пересечения этих прямых с параболой:
Доказать, что длины отрезков и равны.
Доказательство.
показать
5. Пусть дано множество парабол вида , каждая из которых имеет 2 точки пересечения с осью ОХ. И пусть через точки пересечения парабол с осями координат проведены окружности:
Доказать, что все эти окружности имеют одну общую точку.
Доказательство.
показать
Рассмотрим две параболы, симметричные относительно оси OY. В силу симметрии, окружности, проходящие через точки пересечения этих парабол с осями координат также симметричны относительно оси OY:
Следовательно, точки пересечения окружностей лежат на оси OY. Точка В лежит на параболах, и ее положение зависит от уравнения параболы. Следовательно, нас интересует точка А. Пусть координаты точки . Найдем .
Рассмотрим параболу вида . Она пересекает ось ОХ в точках с координатами и , где и - корни уравнения .
Парабола пересекает ось OY в точке B(0;c), причем по теореме Виета
Теперь воспользуемся теоремой о произведении отрезков пересекающихся хорд:
Отсюда
Итак, все окружности пересекаются в точке
Добавить комментарий