Репетитор по математикеСайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
Смысл каждого слагаемого в этом выражении следующий.
Пусть у нас есть два множества, каждое из которых содержит n элементов:
Выражение показывает, сколькими способами мы можем составить комбинации из k элементов из первого множества и n-k элементов из второго множества. Эти же комбинации мы можем получить, если объединим эти два множества, и будем из этого объединенного множества, содержащего 2n элементов выбирать подмножества, содержащие n элементов. Число таких подмножеств равно .
Таким образом,
2.Сколько точек пересечения диагоналей в выпуклом n-угольнике, если никакие три из них не пересекаются в одной точке?
Поставим каждой точке пересечения диагоналей 4 точки, которые являются вершинами многоугольника:
И наоборот, любые четыре различных вершины многоугольника можно соединить диагоналями попарно так, чтобы они пересекались.
То есть каждой четверке вершин мы ставим в соответствие единственную точку. Таким образом, получаем точки пересечения диагоналей в выпуклом n-угольнике.
3. Назовем шестизначный номер билетаabcdef счастливым, если a+b+c=d+e+f. ( Цифры могут быть нулями.)
а) Докажите, что счастливых билетов столько же, сколько билетов с суммой цифр 27.
Установим взаимно однозначное соответствие между счастливыми билетами, то есть такими, что a+b+c=d+e+f и билетами, сумма цифр которых равна 27, то есть a+b+c+d+e+f =27.
Действительно, если a+b+c+d+e+f =27, то
a+b+c=27-(d+e+f)=(9-d)+(9-e)+(9-f)
Поставим каждому счастливому числу abcdef в соответствие число abc(9-d)(9-e)(9-f) - это взаимно однозначное соответствие.
Так как число abcdef - счастливое, то a+b+c=d+e+f . Найдем сумму цифр числа abc(9-d)(9-e)(9-f):
a+b+c+(9-d)+(9-e)+(9-f)=a+b+c+27-(d+e+f)=27
То есть соответствие установлено.
б) Докажите, что количество билетов с суммой цифр 27 равно
В этой сумме слагаемым может быть любое число от нуля до 27. Но в нашем случае слагаемыми являются цифры, которые принимают значение от 0 до 9. То есть нам нужно из вычесть количество сумм, в которых присутствуют слагаемые, больше или равные 10. Тогда слагаемое, которое больше или равно 10 мы представим в виде , например, ; . Если одно из слагаемых равно , то сумма оставшихся равна 17. Этим слагаемым может быть одна из 6 цифр билета, и оставшуюся сумму 17 мы распределяем по 6 слагаемым. Итак, получаем число число сумм, которые содержат одно слагаемое, большее или равное 10: . Мы должны вычесть это число из :
Но вычитая , мы тем самым два раза вычли число сумм, которые содержат два слагаемых, больше или равных 10, потому что каждую такую сумму мы посчитали два раза. Поэтому теперь к выражению мы должны прибавить число сумм, содержащих два слагаемых, больших или равных 10. Чтобы найти это число мы поступим так же, как в предыдущем случае, но теперь два слагаемых мы запишем в виде , и оставшуюся сумму, равную 7, распределим по 6 слагаемым. Получим число .
Итак, количество билетов с суммой цифр 27 равно:
в) Докажите, что количество счастливых билетов равно сумме квадратов коэффициентов многочлена
При перемножении скобок, мы каждое слагаемой из первой скобки умножаем на каждое слагаемое из второй скобки и на каждое слагаемое из третьей, в итоге мы получаем , где показатель k равен сумме показателей слагаемых из каждой скобки, например . Потом приводим подобные члены. При приведении подобных членов мы складываем одночлены с одинаковой степенью.
Тогда в одночлене коэффициент равен количеству способов получить число k, складывая три числа от 0 до 9. k принимает значения от 0 до 27.
Вернемся к счастливым билетам. Билет abcdef - счастливый, если a+b+c=d+e+f. Здесь a, b, c, d, e и f - цифры от 0 до 9. Тогда количество счастливых билетов, у которых сумма первых трех цифр и вторых трех цифр равна k, равно по правилу произведения. Здесь, как и в предыдущих рассуждениях, равно количеству способов получить число k, складывая три цифры от 0 до 9. k может принимать значения от 0 до 27.
То есть количество всех счастливых билетов равно
это и есть сумма квадратов коэффициентов многочлена
Добавить комментарий