Найдите все целочисленные значения параметра , при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Посмотрим внимательно на структуру первого уравнения. Если мы рассмотрим две точки и , то выражение - это расстояние между точками A и B. Аналогично расстояние между точками и равно
Точки и имеют разные абсциссы, но одинаковые ординаты. Следовательно, они лежат на прямой .
Равенство показывает, что сумма расстояний от точки до точек и равно 4. При этом расстояние между точками и также равно 4. Следовательно, точка принадлежит отрезку , лежащему на прямой .
Таким образом, решением первого уравнения являются все значения из отрезка при любом действительном значении .
Исходная система имеет единственное решение, если второе уравнение системы имеет единственное решение на отрезке [1;5].
Теперь мы имеем дело с задачей на расположение корней квадратного трехчлена: "при каком значении параметра уравнение имеет единственный корень на отрезке [1;5]?".
Заметим, что по теореме Виета для квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения справедливо:
Мы видим, что произведение корней отрицательно (), следовательно, корни квадратного трехчлена имеют разные знаки.
Рассмотрим функцию
При условии, что квадратный трехчлен имеет единственный корень на отрезке [1;5], мы получаем такую картинку:
Данный квадратный трехчлен имеет единственный корень на отрезке [1;5], если
Получаем систему неравенств:
Решим каждое неравенство:
(1)
Так как , а , неравенство (1) выполняется при любом значении х.
(2)
Это неравенство с модулем равносильно системе:
Решим каждое неравенство.
(1)
(2)
(3)
Чтобы решить систему, мы должны все точки расположить на одной координатной прямой, а для этого оценить значения всех полученных выражений.
Оценим, в каких пределах лежит значение выражения :
Оценим, в каких пределах лежит значение выражения :
Аналогично получим:
Получаем такую картинку:
Теперь легко видеть, что целые значения , удовлетворяющие данной системе неравенств (лежащие на голубом промежутке) - это числа -2, -1, 0, 1.
Ответ: -2, -1, 0, 1.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Инна, непонятно в самом начале, почему расстояние между точками А и В это и есть значение выражения, объясните поподробнее.
Мария, посмотрите как находить расстояние между точками с заданными координатами: //ege-ok.ru/2013/04/04/vektoryi-i-koordinatyi-bazovyie-zadachi
Но ведье сли параболу сдвинуть чуть вправо, например на 5 клеток, то тоже будет единственный корень на заданном отрезке. Этот случай тоже ведь надо рассмотреть? И поучится система неравенств как после картинки только с противоположенными знаками?
Корни должны быть разных знаков!