В этой статье мы разберем решение геометрической задачи из Задания 16 ЕГЭ по математике.
1. Доказать, что треугольники и подобны.
2. Найти радиус окружности, описанной около треугольника .
Построим чертеж:
Докажем, что треугольники и подобны.
Очевидно, что угол - общий угол этих треугольников. Найдем пропорциональные стороны. Для этого воспользуемся теоремой о соотношении элементов прямоугольного треугольника: квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу.
Из треугольника :
Из треугольника :
Приравняем правые части этих равенств, и получим
Отсюда
Итак, треугольник подобен треугольнику по двум сторонам и углу между ними.
Так как по условию
, получим, что коэффициент подобия равен (отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия).
Введем обозначения: пусть , тогда ; пусть , тогда :
Нам нужно найти радиус окружности, описанной около треугольника . Воспользуемся теоремой синусов:
Из треугольника найдем :
Таким образом,
Осталось найти, чему равно произведение .
Вспомним соотношение . Из него получаем . Отсюда
Тогда
Ответ:
Спасибо Инна Владимировна. Мы у вас учимся Вы много работаете Я больше всего пользуюсь вашими лекциями.
Спасибо, Любовь! Мне приятно)
Инна Владимировна, доказать подобие треугольников АВС и ВLK можно, на мой взгляд более красивым способом: описать около четырехугольника ВКLН окружность (ВН — диаметр). ТОгда, углы ВLК и ВНК равны, т.к. опираются на дугу ВК. Кроме того, в подобных треугольниках ВНС и ВКН углы ВНК и АСВ равны.
Значит, углы ВLК и С равны угол АВС — общий, треугольники АВС и ВLК подобны.
А вам за ум и за желание делиться большое спасибо!
Ваша коллега.
Большое спасибо, Светлана!