В этой статье мы разберем решение геометрической задачи из Задания 16 ЕГЭ по математике.
Две окружности с радиусами 2 и 6 касаются в точке А. Прямая касается первой окружности в точке и пересекает вторую в точках и . Найти длину , если .
Решение.
Предварительный чертеж:
Предположим, что окружности касаются внутренним образом:
Так как , то есть больше диаметра окружности, следовательно, точка не может лежать внутри окружности. То есть этот вариант нам не подходит.
Рассмотрим второй вариант, когда окружности касаются внешним образом:
В этом случае длина может быть больше диаметра.
Осталось выяснить, как расположены точки и .
Если точки и поменять местами, то радиус первой окружности должен будет быть гораздо больше двух. Поэтому этот вариант нас тоже не устроит.
Остается тот вариант, который изображен на рисунке.
Пусть точка - центр меньшей окружности, а точка - большей. Проведем через эти точки прямую до пересечения с большей окружностью (точка ):
Из прямоугольного треугольника (радиус , проведенный к точке касания перпендикулярен касательной ) найдем :
Теперь рассмотрим треугольники и :
Треугольник - прямоугольный (вписанный угол опирается на диаметр)
Введем обозначения: пусть :
Тогда
Запишем теорему косинусов для треугольника :
Ответ:
Добавить комментарий