Тригонометрическая замена в иррациональном уравнении
Мы привыкли делать замену в тригонометрическом уравнении в том случае, если с помощью замены оно сводится а алгебраическому уравнению, например, к квадратному. Но бывают ситуации, когда, наоборот, удобно ввести тригонометрическую замену. Сигналом для такой замены является тот факт, что областью допустимых значений переменной является промежуток или , или
Решим иррациональное уравнение с помощью введения тригонометрической замены:
Найдем ОДЗ этого уравнения:
Введем замену: . В то время, как пробегает значения от до , пробегает значения от -1 до 1.
Получим уравнение:
Так как , , следовательно, модуль можно раскрыть с тем же знаком.
Так как не является корнем исходного уравнения, . Разделим обе части уравнения на .
Получим
Умножим обе части уравнения на
Теперь можно ввести привычную замену: , получим уравнение третьей степени относительно :
Заметим, что сумма коэффициентов при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях: 1+1=3-1.
Следовательно, корнем этого уравнения является число .
Разделим многочлен на двучлен с помощью схемы Горнера.
Получим:
Корни квадратного трехчлена во второй скобке:
Вернемся к котангенсу.
Получим
, следовательно, , и
. Найдем . Заметим, что знаки и на промежутке одинаковые.
Выражение .
. Найдем .
Выражение .
Ответ:
2 способ.
Если вспомнить формулу косинуса тройного угла: , то можно увидеть, что если мы введем замену: (), то в правой части уравнения получим
Тогда уравнение примет вид:
На промежутке , получаем уравнение:
;
Отсюда:
(1) или (2)
Из второго уравнения получаем , из этой серии решений промежутку принадлежит только точка . Тогда
Из второго решения получаем . Из этой серии решений промежутку принадлежат точки и
.
Ответ:
Инна,спасибо,очень даже редкая и оригинальная замена
Инна, впервые встречаю такую замену! Спасибо за науку.
Инна, спасибо за статью. Интересная замена. Получилось красивое решение.
Интересное решение, но в данном случае уравнение 6 степени легко превращается в уравнение третей степени, т.к. x^2 заменяется на t.
Да, в конкретном случае можно было решать «в лоб».
Инна Владимировна, спасибо за интересное решение.
тупо. после замены x=sqrt(1-y^2) получает биквадратное.