В этой статье мы выведем общую формулу для решения экономических задач, условие которых предполагает погашение задолженности по кредиту с использованием дифференцированного платежа.
Дифференцированный платеж – это способ погашения кредита, при котором заемщиком выплачивается основная сумма займа («тело кредита») равными частями, а начисление процентов осуществляется только на остаток задолженности в каждый конкретный момент времени.
Если в задаче присутствуют слова "равными частями", или "долг уменьшается на одну и ту же величину" , то, скорее всего, речь идет о дифференцированном платеже.
Отметим, что в этом случае платежи отличаются между собой.
Внимание! Следует отличать эти задачи от тех, в которых долг отдается равными платежами.
Пусть заемщик взял в кредит 
рублей на 
лет при годовой процентной ставке, равной 
%.
В случае дифференцированного платежа ежегодный платеж состоит из двух частей и равен
1) 
- часть долга, выплачиваемая ежегодно. Это та составляющая ежегодной выплаты, которая остается постоянной.
2) Проценты на оставшуюся часть долга. Это составляющая ежегодного платежа, которая меняется с каждой выплатой и зависит от порядкового номера этой выплаты.
В первый год выплата процентов по кредиту равна 
,
во второй - 
в третий - 
Выплата процентов по кредиту в 
- ый год равна 
.
Тогда общий платеж в первый год равен 
Во второй: 
В - ый: 
Выплаты по процентам представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, в которой 
Суммарно выплаты по процентам равны:
Сумма слагаемых в скобках находится по формуле суммы членов арифметической прогрессии:
В итоге, если клиент берет в кредит рублей на лет при годовой процентной ставке, равной %, то при дифференцированном платеже он выплатит за лет всего
рублей.
В этом случае переплата банку составляет 
рублей или 
процентов (считаем, сколько процентов составляет переплата от суммы долга, для этого сумму переплаты делим на сумму долга и умножаем на 100%).
Например, если клиент берет ипотеку на квартиру 10 млн руб. сроком на 20 лет под 10% годовых (фантастически низкий процент), то по истечении этого срока он заплатит за квартиру:
млн. руб. То есть сумму, более чем в два раза превышающую сумму кредита.
Решим задачу:
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?
Решение.
По условию задачи процентная ставка 
% годовых.
Пусть кредит взят на лет. Наибольший годовой платеж будет в первый год, когда невыплаченный остаток максимальный, он равен сумме, взятой в кредит. Годовой платеж в первый год равен 
млн руб.
По условию наибольший годовой платеж равен 9 млн руб.
Получаем уравнение:
Следовательно, кредит взят на 14 лет.
Тогда общая сумма выплат равна 
млн руб.
Ответ: 
млн руб.
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Добрый вечер. Как понять, какие задачи мы решаем по k= 1+r/100, а какие по r.