В этой статье рассмотрим решение задач из Задания 17, в которых требуется оптимальным образом распределить производство продукции для получения максимальной прибыли.
Задача 1. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).
Решение.
показать
Величина прибыли зависит от того, каким образом будут распределены производственные мощности на заводе, то есть какая часть мощностей будет направлена на выпуск компотов в стеклянной таре, а какая - в жестяной. Ту величину, от которой зависит прибыль примем за неизвестное.
Пусть величина 
- это часть мощностей завода, направленных на выпуск компотов в стеклянной таре. Тогда оставшиеся мощности, то есть 
направлены на выпуск компотов в жестяной таре.
В этом случае завод выпустит 
центнеров компота в стеклянной таре, и 
центнеров в жестяной.
Прибыль с одного центнера продукции равна разности между отпускной ценой и себестоимостью. Таким образом
1 центнер компотов в стеклянной таре приносит прибыль 
руб
1 центнер компотов в жестяной таре приносит прибыль 
руб
В итоге полученная прибыль в зависимости от составит
Упростим выражение для функции 
Коэффициент при больше нуля, следовательно, это функция возрастающая, и чем больше значение , тем больше прибыль. Но по условию задачи нельзя отдать все мощности на производство компотов в стеклянной таре: для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров.
Найдем, какую часть мощностей нужно отдать под производство компотов в жестяной таре:
- под производство компотов в жестяной таре необходимо отдать 
часть всех мощностей завода, следовательно, под производство компотов в стеклянной таре можно отдать максимум 
всех мощностей.
Тогда
Ответ: 
.
Задача 2. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.
Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
(из сборника Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.)
Решение.
показать
Величина дохода фермера зависит от того, каким образом будет распределена площадь каждого поля между посадками картофеля и свеклы.
Пусть на первом поле фермер отвел га под картофель. Тогда под свеклу остается 
га.
Урожайность картофеля на первом поле 500 ц/га, а свеклы 300 ц/га.
В этом случае прибыль с первого поля составит 
- перед нами возрастающая функция, которая принимает наибольшее значение при максимально возможном . Так как никаких ограничений по распределению площадей посадки между картофелем и свеклой перед фермером не стоит, ему выгодно все первое поле отдать под картофель, тогда он получит прибыль:
руб.
Аналогично поступим со вторым полем.
Пусть на втором поле фермер отвел 
га под картофель. Тогда под свеклу остается 
га.
Урожайность картофеля на втором поле 300 ц/га, а свеклы 500 ц/га.
Если подумать, здесь даже не нужно составлять функцию, так как урожайность свеклы на втором поле выше, чем картофеля, и стоимость одного центнера свеклы также больше. Поэтому очевидно, что на втором поле фермеру выгоднее выращивать только свеклу. В этом случае прибыль со второго поля составит
руб.
Общая прибыль фермера равна 
руб.
Ответ: 
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Добрый вечер, уважаемая Инна, у вас в первой задаче опечатка: если мощность завода на производство компота в жест.таре равна 1\4, то для стекл.тары 3\4.
Большое спасибо, исправила.