В этой статье мы рассмотрим решение задачи с параметром, в основе которого лежит идея исследования функции с помощью производной и ограниченность функции.
Задание 18. Найдите все значения параметра , при которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
Решение.
Перед нами уравнение, которое представляет собой произведение двух множителей. Оба множителя не имеют ограничений на ОДЗ, поэтому исходное уравнение равносильно совокупности уравнений:
Первое уравнение имеет от одного до трех действительных корней.
Второе уравнение - тригонометрическое, поэтому в силу периодичности тригонометрических функций оно либо не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений.
Так как нам нужно найти значения параметра , при котором исходное уравнение имеет ровно три различных корня, нас интересуют те значения параметра, при которых первое уравнение совокупности имеет три корня, а второе ни одного.
Рассмотрим функцию . Исследуем ее на монотонность.
Найдем нули производной:
График функции имеет три точки пересечения с осью (уравнение имеет три корня) вот в этой ситуации:
То есть при условии: и .
Итак, уравнение имеет три корня, если (1)
Найдем, при каких значениях уравнение не имеет корней.
Запишем это уравнение в виде
Оценим, какие значения может принимать левая часть этого уравнения.
Применим формулы понижения степени:
Введем вспомогательный угол:
Так как ,
Следовательно, уравнение не имеет решений, если
или
Отсюда или
Учитывая условие (1) получаем
Ответ:
Замечательное решение!
Очень красивое решение! Спасибо
Добрый день, Инна! По второму уравнению совокупности. Гораздо проще его свести к однородному тригонометрическому второй степени, затем к квадратному относительно tgx/ Из условия , что дискриминант меньше нуля, найдем соответствующие значения параметра.
Первое уравнение решено классно!Спасибо!
Да, спасибо!