Решим уравнение:
(ДВИ МГУ, 2013)
Решение. показать
Приведем правую и левую части уравнения к общему знаменателю:
Воспользуемся формулой синуса разности двух углов:
Перенесем все влево:
Вынесем за скобку и преобразуем знаменатели дробей по формуле синуса двойного угла:
(1)
Мы получили распадающееся уравнение.
Найдем ОДЗ:
, отсюда
, отсюда
Приравняем к нулю каждый множитель в левой части уравнения (1):
, отсюда
Разделим обе части уравнения на 2 и приведем левую часть к общему знаменателю:
По формуле преобразования суммы синусов в произведение разложим на множители числитель дроби:
Приравняем числитель к нулю, получим
, отсюда
, отсюда
Сведем все полученные решения в систему:
где
Теперь перед нами стоит задача записать ответ максимально компактно.
Объединим первую и третью серии решений.
- в числителе стоит произведение числа и четного числа;
- в числителе стоит произведение числа и нечетного числа.
Объединив эти серии решений, мы получим .
Наша система приобрела более компактный вид:
Учтем ОДЗ:
1) ,
,
Следовательно, для серии , - целое число, не кратное числу 4.
,
Следовательно, для серии , - целое число, не кратное числу 3.
2)
;
, отсюда .
;
, отсюда .
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Добавить комментарий