В этой статье мы рассмотрим решение задачи по планиметрии из ДВИ в МГУ, 2015 г.
Задание 5 ДВИ МГУ, 2015
По теореме о касательной и секущей .
Отсюда . По условию , тогда
По теореме синусов:
Отсюда
Внимание! Это тонкое место задачи: в этом месте мы получаем два случая:
1) - угол - острый. Треугольник с острым углом изображен на рисунке.
ИЛИ
2) - в этом случае угол - тупой.
Найдем :
Рассматриваем два случая:
1)
2)
Таким образом,
Снова воспользуемся теоремой синусов и выразим через сторону :
(1)
Осталось найти, чему равен .
Докажем, что точка - центр описанной окружности треугольника .
Задание 5 ДВИ МГУ, 2015
, как радиусы окружности, и треугольник - равнобедренный.
Опустим перпендикуляр на . По свойству равнобедренного треугольника .
Тогда по двум катетам, отсюда .
Далее, по свойству касательной . По условию , то есть высота треугольника является его медианой, следовательно треугольник - равнобедренный и .
Мы получили, что и точка - центр описанной окружности треугольника .
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника получим:
Третий раз воспользуемся теоремой синусов:
Подставим в формулу (1):
Ответ:
Добавить комментарий