В этой статье мы рассмотрим решение уравнения четвертой степени с помощью разложения на множители методом неопределенных коэффициентов.
Перед нами уравнение четвертой степени.
Чтобы решить это уравнение, разложим левую часть уравнения на множители.
Многочлен четвертой степени можно разложить на произведение двух многочленов второй степени.
Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Пусть выполняется равенство:
Здесь -целые числа.
Перемножим две скобки справа и приведем подобные члены. Получим:
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и получим систему уравнений:
Без ограничения общности можем считать, что
, тогда пусть
, отсюда или .
Рассмотрим два случая:
- ,
Получим систему уравнений:
Из второго и третьего уравнений получаем - что не удовлетворяет третьему уравнению. Система не имеет решений.
2. ,
Из второго и третьего уравнений получаем - и эти значения удовлетворяет третьему уравнению.
Получили:
Тогда наше разложение имеет вид:
Осталось приравнять квадратные трехчлены в скобках к нулю и найти корни:
Ответ: ,
Здравствуйте! Подскажите пожалуйста, для уравнения 6x^4-5x^3-9x^2+x+2=0 подойдут ли варианты: a=2, k=3, c=1, n=2;
a=2, k=3, c=-1, n=-2; a=1, k=6, c=1, n=2; a=1, k=6, c=-1, n=-2.
Это необходимый и достаточный список вариантов которые нужно проверить? Решать не нужно, а подсказать с вариантами очень прошу.
С уважением.
Многочлен можно разложить на множители единственным способом. Достаточно найти один вариант, а потом разложить на множители квадратные трехчлены, если получится.
А правильно ли будет именно эти варианты проверить? В этом был мой вопрос.
Если вы находили эти коэффициенты, решая систему линейных уравнений, то почему нет? Я не очень понимаю вопрос. Подставьте и проверьте.
Ребенку это задали в зфтш,учится в 9 классе. Причем подобных примеров не дали, дали более простой пример с четырьмя коэффициентами. Единственно нашел у Вас подобный пример, и как мы теперь поняли, тут шесть коэффициентов.Далее надо выбрать варианты коэффициентов, которые нужно проверить. Это тоже непростая задача, вот об этом и был вопрос. В частности,правильно ли будет ak рассматривать как 1х6 и 2х3?
То есть мы взяли схему решения очень похожего уравнения у Вас из статьи, взяли такие же обозначения коэффициентов, и далее мы должны рассмотреть варианты, подбирая коэффициенты. Вот и хотели узнать, правильный ли набор вариантов с коэффициентами мы определили не забыли ли какой вариант, или, наоборот, что-то лишнее взяли, и на самом деле вариантов можно меньше рассматривать.
PS. Наш вопрос непонятен видимо потому, что трудно задавать вопрос в теме,где почти ничего не понятно.
Я поняла. В вашем случае нужно еще добавить a=2, k=3, c=2, n=1; a=2, k=3, c=-2, n=-1; a=1, k=6, c=2, n=1; a=1, k=6, c=-2, n=-1.
PS2. Как уже видно из комментариев, у многих возникли вопросы, в частности,почему Вы взяли такие именно значения коэффициентов. Тема оказалась непростая для большинства. Неплохо было бы расширить её и что-то еще опубликовать по возможности. Уверен что непонятные места остались для части читателей.
Здравствуйте.
Всегда ли найдутся ЦЕЛЫЕ числа a, b, c, k, l, n по методу неопределенных коэффициентов?
Спасибо
да
3x^4 + 2x^3 -7x^2 + x — 6 нет ЦЕЛЫХ коэффициентов,или я не прав?
Должны быть.
А чем это объясняется?
Поясните пожалуйста, почему «Без ограничения общности можем считать, что a > 0, k > 0» ? Почему не рассматриваем отрицательные значения коэффициентов?
Мы можем получить оба отрицательных коэффициента, если умножим обе скобки на -1. Тогде все остальные коэффициенты будут с противоположными знаками.
Можно ли решить эту систему другим способом ?