Задание 18 из реального ЕГЭ по математике 01.06.2018.
Будем решать задачу графически.
Первое уравнение: произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю.
То есть первое уравнение равносильно совокупности:
Нам удобно выразить через :
Или так:
В итоге получаем систему:
График первого уравнения совокупности представляет собой семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, которые проходят через точку с координатами .
График второго уравнения совокупности представляет собой семейство прямых с переменным коэффициентом наклона, которые проходят через точку с координатами .
График третьего уравнения представляет собой окружность с центром в начале координат, радиус которой равен 4.
Система имеет ровно четыре решения, если каждая прямая совокупности имеет с окружностью две общие точки.
Изобразим графики всех уравнений на координатной плоскости. Так как мы решили выразить через , вертикальная ось будет ось , а горизонтальная - ось .
Рассмотрим семейство прямых . (1)
Прямые семейства имеют две точки пересечения с окружностью, если расположены в голубой области. Эта область ограничена касательными к окружности, проведенными из точки .
То есть если коэффициент наклона должен быть больше чем или меньше чем :
или .
Найдем и .
Из соображения симметрии ясно, что .
Рассмотрим прямоугольный треугольник . - радиус, проведенный к точке касания.
, отсюда
Следовательно, ; .
Отсюда или .
или (3)
Рассмотрим семейство прямых . (2)
Прямые семейства имеют две точки пересечения с окружностью, если расположены в зеленой области. Эта область ограничена касательными к окружности, проведенными из точки .
То есть коэффициент наклона прямых должен быть больше чем или меньше чем :
или .
Чтобы найти и рассмотрим прямоугольный треугольник . - радиус, проведенный к точке касания.
Отсюда ; .
Тогда .
Следовательно, или .
Отсюда получаем: или . (4)
Кроме того, важно заметить, что семейства прямых (1) и (2) имеют общую прямую, которая проходит через точки и . Уравнение этой прямой :
Значит, если коэффициент наклона равен -1, то система имеет два решения, и этот случай нам не подходит. Отсюда:
. (5)
Подытожим:
Ответ: UU