Задание 15. Решите неравенство
Решение.
При решении логарифмических неравенств на первом этапе мы стараемся привести все логарифмы к одному основанию. В данном неравенстве, если мы разделим обе части на выражение , то избавимся от переменного основания. Но при этом действии, в зависимости от знака выражения знак неравенства либо изменится на противоположный, либо нет. Найдем сначала ОДЗ исходного неравенства, чтобы понять, какие ограничения накладываются на .
Область допустимых значений исходного неравенства - это те значения , которые являются решениями системы:
Решим каждое неравенство системы.
Решение неравенства :
Решение неравенства
Совместим на одной оси решение всех неравенств системы:
Итак, ОДЗ исходного неравенства: . При этих значениях , поэтому при делении на знак неравенства сохраняется. Разделим:
перейдем к новому основанию:
Мы видим, что неизвестное содержится в неравенстве в составе сходных выражений. Введем замену переменной - универсальное действие, которое точно не навредит.
Пусть , тогда .
Получим неравенство относительно :
Попытка привести логарифмы к одному основанию ни к чему хорошему не приводит.
Исследуем функцию
Функция возрастает, так как основание логарифма больше 1, и она положительна, так как . Аналогично, функция возрастает, и она положительна при , так как . Произведение двух положительных возрастающих функций есть возрастающая положительная функция, следовательно, функция возрастает.
Если функция возрастает, то существует некое значение , такое, что , и при всех выполняется неравенство .
Найдем подбором.
при .
Следовательно,
при .
Вернемся к исходной переменной:
Получим решение:
С учетом ОДЗ ():
Ответ: [)