Задание 16 из реального ЕГЭ по математике 2.06.2017
В трапеции угол прямой. Окружность, построенная на большем основании как на диаметре, пересекает меньшее основание в точках и .
а) Докажите, что угол равен углу .
б) Диагонали трапеции пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если .
б') Диагонали трапеции пересекаются в точке . Найдите площадь треугольника , если .
Решение. показать
а) Проведем хорду и рассмотрим трапецию :
Трапеция вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому треугольник равен треугольнику по трем сторонам.
Отсюда .
- касательная, проведенная через конец хорды . Угол между хордой и касательной, проведенной через ее конец, равен острому вписанному углу, который опирается на эту хорду. То есть , следовательно, .
Утверждение а) доказано.
б) По условию . Пусть . Опустим из точек и высоты и на основание . Так как трапеция равнобедренная,
Тогда , отсюда .
Рассмотрим прямоугольный треугольник :
, так как это радиус окружности, описанной около трапеции , . Тогда .
Теперь проведем диагональ трапеции . -точка пересечения диагоналей. Из подобия треугольников и получим
Отсюда
Ответ:
б') Рассмотрим подобные треугольники и .
; ; .
Отсюда .
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике