В этой статье мы рассмотрим решение тригонометрического уравнения с помощью разложения на множители.
Преобразуем по формуле :
Так как , перепишем уравнение в виде:
Введем замену:
Получим уравнение относительно :
Перейдем к равносильной системе:
Решим первое уравнение системы:
Мы получили уравнение четвертой степени. Чтобы уменьшить коэффициенты, введем еще одну замену: .
Получим уравнение относительно :
Чтобы решить это уравнение, представим левую часть в виде произведение двух квадратных трехчленов с помощью метода неопределенных коэффициентов. (Любой многочлен четвёртой степени разлагается в произведение многочленов второй степени.)
Пусть выполняется равенство:
Здесь -целые числа.
Перемножим две скобки справа и приведем подобные члены. Получим:
Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты.
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях и получим систему уравнений:
, отсюда или
Отсюда
Рассмотрим два случая:
Тогда система примет вид:
Разложим число 12 на множители всеми возможными способами.
Без ограничения общности можем считать, что .
Пусть - подставим в систему, и убедимся, что она не имеет решений.
Аналогично система не имеет решений, если , .
2.
Тогда система примет вид:
Пусть - подставим в систему, и убедимся, что она не имеет решений.
Пусть .
Тогда и наше разложение имеет вид:
Приравняем каждый множитель к нулю, получим корни уравнения :
, .
Отсюда , .
Выберем корни, удовлетворяющие условиям:
, то есть .
Из положительных корней этому условию удовлетворяет только .
Вернемся к исходной переменной:
Ответ: