Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
24 Фев 2012
ТРИГОНОМЕТРИЯ

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям

Я начинаю цикл статей, посвященных решению тригонометрических уравнений. Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств мы уже рассматривали, и теперь пора заняться более сложными вещами. Чтобы научиться решать более сложные тригонометрические уравнения, нужно хорошо знать типы тригонометрических уравнений и способы их решения.

Начнем с тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным.

Отличительные признаки тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным:

1. В уравнении присутствуют тригонометрические функции от одного аргумента, или они легко сводятся к одному аргументу.

2. В уравнении присутствует только одна тригонометрическая функция, или все функции можно свести к одной.

Заметим, что cos2x легко сводится к cos^2{x} или sin^2{x} по формуле косинуса двойного аргумента :

cos2{alpha}={cos}^2{alpha}-sin^2{alpha}=2{cos}^2{alpha}-1=1 - 2sin^2{alpha}.

cos^2{x} легко сводится к sin^2{x} с помощью основного тригонометрического тождества.

Пример 1. Решим уравнение:

2-cos{2x}+2sqrt{2} cos({pi}/2+x)=0

1. Воспользуемся формулой приведения:

 cos({pi}/2+x)=-sinx 

Получим уравнение:

2-cos{2x}-2sqrt{2} sinx=0

2. Теперь  cos{2x}  нам удобно выразить через sin^2{x}, поскольку в уравнении присутствует sin{x}:

2-(1-2sin^2{x})-2sqrt{2} sinx=0

1+2sin^2{x}-2sqrt{2} sinx=0

2sin^2{x}-2sqrt{2} sinx+1=0

( sqrt{2}sin{x})^2-2sqrt{2} sinx+1=0

 ( sqrt{2}sin{x}-1)^2=0

sin{x}=1/{sqrt{2}}=sqrt{2}/2

x=(-1)^{n}{pi}/4+{pi}n, где n{in}bbZ

Ответ: x=(-1)^{n}{pi}/4+{pi}n, где n{in}bbZ

 

Пример 2. Решим уравнение.

cos^4{x}+3sinx-sin^4{x}-2=0  

Упростим выражение cos^4{x}-sin^4{x} - разложим его на множители по формуле разности квадратов :

cos^4{x}-sin^4{x}=(cos^2{x}-sin^2{x}) (cos^2{x}+sin^2{x})=cos2x*1=cos2x

Получим:

cos2x+3sinx-2=0

1-2sin^2{x}+3sinx-2=0

2sin^2{x}-3sinx+1=0

Введем замену переменной: t=sinx, -1<=t<=1

Получим квадратное уравнение:

2t^2-3t+1=0

По теореме Виета находим корни: t_1=1,  t_2=1/2. Оба корня нас устраивают.

Теперь можем вернуться к исходной переменной, получим:

sinx=1 или sinx=1/2

x={pi}/2+2{pi}n, или x=(-1)^n{pi}/6+{pi}n,  где n{in}bbZ

Ответ: x={pi}/2+2{pi}n, x=(-1)^n{pi}/6+{pi}n,  где n{in}bbZ

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям
| Отзывов (7)

Отзывов (7)

  1. Валерий
    в 18:32

    У Вас очень симпатичный и нужный сайт. Уверен, он найдёт своих читателей. Удачи!
    Ответить
  2. Ольга Рыбковская
    в 05:04

    Инна, если бы любила математику, «паслась» бы только на Вашем сайте :)). Отличный блог и замечательный поведенческий фактор — еще чуть-чуть и будете в ТОПе! Удачи! 🙂
    Ответить
    • Инна
      в 07:27

      Ольга, спасибо! Я таки «пасусь» на Вашем сайте. И Ваше мнение для меня очень важно!
      Ответить
  3. Павел
    в 16:36

    Очень хороший сайт:)
    Ответить
  4. Зоя
    в 17:39

    Мне тоже понравился сайт
    Ответить
  5. Виктория
    в 08:46

    Большое Вам спасибо,все доходчиво и понятно!!! Очень хороший сайт и разработчик 🙂
    Ответить
    • Инна
      в 12:47

      Спасибо)
      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *