Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2021-07-26

Главная » СТАТЬИ » Теория вероятностей » Условная вероятность. Формула Байеса

26 Июл 2021

Теория вероятностей

Условная вероятность. Формула Байеса

Условная вероятность является одним из важнейших понятий теории вероятностей.

Условная вероятность — вероятность наступления события $А$ при условии, что событие $В$ произошло.

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В уже произошло, обозначается $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Прежде чем привести формулу, позволяющую вычислить условную вероятность, проиллюстрируем это понятие с помощью кругов Эйлера:

Пусть для некоторого эксперимента красный круг обозначает множество всех возможных исходов. Зеленый круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , синий круг обозначает множество исходов, благоприятствующих событию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , область, лежащая в пересечении этих кругов обозначает множество исходов, благоприятствующих обоим событиям $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , обозначим его $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Как мы знаем, вероятностью события называется отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов.

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

То есть вероятность события показывает, какую часть благоприятные исходы составляют от всех возможных исходов.

Если мы вычисляем вероятность события $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ в предположении, что событие $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ уже произошло (то есть условную вероятность), то в этом случае для нас множество исходов, благоприятствующих событию событию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ окажется множеством всех возможных исходов, а благоприятными исходами будут те исходы, которые при этом еще благоприятствуют событию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . То есть нам нужно найти, какую часть число исходов, благоприятствующих событиям $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ составляет от числа исходов, благоприятствующих событию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Пусть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , где $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - число исходов, благоприятствующих событию $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - число элементов множества $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ )

Пусть $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , где $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - число исходов, благоприятствующих событиям $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - число всех возможных исходов. ( В нашей иллюстрации $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ - число элементов множества $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , которое является пересечением множеств $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ и $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ ).

Тогда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Но по определению условной вероятности $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , следовательно

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (1)

Заметим, что аналогично получим формулу для нахождения вероятности наступления события $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ при условии, что событие $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ произошло:

$Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ (2)

Очевидно, что $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Формулы (1) и (2) для нахождения условной вероятности по сути одна и та же формула, это и есть формула Байеса.

Рассмотрим примеры задач на условную вероятность.

Пример 1. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение.

В задаче описана следующая ситуация: при производстве посуды часть тарелок имеют дефект. Но контроль качества отбраковывает не все дефектные тарелки, а только 80% из них, остальные (20%) поступают в продажу.

Нам нужно найти вероятность того, что что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. То есть нас интересует какая часть из всех тарелок, которые поступили в продажу, не имеют дефекта.

Нарисуем дерево вероятностей:

Красными веточками обозначены тарелки, которые поступили в продажу. Это тарелки без дефектов (они составляют 0,9 от всех тарелок) и тарелки с дефектами, которые пропустила система контроля. Их $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ от всех тарелок.

Таким образом, вероятность того, что тарелка поступила в продажу равна $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . При этом вероятность того, что тарелка не имеет дефектов равна $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ .

Следовательно, вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов равна $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$

Ответ: 0,98.

Пример 2.

40% пакетов с молоком производят на молочном комбинате в Л., а остальные на молокозаводе в С. Известно, что в среднем 3% пакетов, поступивших в продажу протекают, а среди пакетов, изготовленных в Л. протекают в среднем 5%.

а) Найдите вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С.

б) Найдите вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С протекает.

Решение. Нам нужно найти вероятность того, что протекающий пакет изготовлен на заводе в С. То есть нам нужно найти, какая часть из всех протекающих пакетов изготовлена на заводе в С. По условию задачи всего протекает 3%, то есть 0,03 часть всех пакетов. Пусть среди пакетов, изготовленных на заводе в С. протекает $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ %.

Нарисуем дерево вероятностей:

Красными веточками обозначены пакеты, которые протекают. При этом на заводе в Л. изготовлено $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ всех протекающих пакетов. На заводе в С. изготовлено $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ от всех протекающих пакетов.

Получаем $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , отсюда $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . То есть вероятность того, что пакет, изготовленный на заводе в С. протекает, равна $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ . Получим, что на заводе в С. изготовлено $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ от всех протекающих пакетов. Это число мы могли бы получить, если бы из части всех протекающих пакетов (0,03) вычли бы часть протекающих пакетов, изготовленных на заводе в Л. (0,02). (Мы бы так и поступили, если бы нужно было бы ответить только на п. а) задачи)