Решение задачи на оптимизацию на ЕГЭ по математике.
Купить видеолекцию.
1. У фермера есть два поля, каждое площадью 8 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 350 ц/га, а на втором — 420 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 270 ц/га, а на втором — 450 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 4000 руб. за центнер, а свёклу— по цене 5000 руб. за центнер. Какой наибольший̆ доход (в млн рублей) может получить фермер?
2. У фермера есть два поля, каждое площадью 6 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель, морковь и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 410 ц/га и на втором тоже 410 ц/га. Урожайность моркови на первом поле составляет 370 ц/га, а на втором — 430 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 320 ц/га, а на втором — 460 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 3000 руб. за центнер, морковь — по цене 3500 руб. за центнер, а свёклу — по цене 4000 руб. за центнер. Какой̆ наибольший̆ доход (в млн рублей) может получить фермер?
3. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть номера категории Б площадью квадратных метров и номера категории А площадью квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет квадратных метра. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Номер категории Б будет приносить отелю рублей в сутки, а номер категории А — рублей в сутки. Какую наибольшую сумму (в рублях) сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель? Сколько номеров категории Б и сколько номеров категории А будет в таком отеле?
4. Завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары — стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортимента, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.
Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной̆ стоимостью всей̆ продукции и её себестоимостью).
5. В двух шахтах добывают алюминий и никель. На первой̆ шахте имеется 60 рабочих, каждый̆ из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий̆ за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. На второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой̆ вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
6. Предприятие непрерывного цикла выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется часов работы цеха А и часов работы цеха Б, а для изготовления изделия второго типа требуется часов работы цеха А и часов работы цеха Б (цеха могут работать над изделием в любой последовательности). По техническим причинам цех А может работать не более часов в месяц, а цех Б — не более часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию д. е. прибыли, а каждое изделие второго типа— д.е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует ежемесячно выпускать для получения этой прибыли.
7. Предприятие непрерывного цикла занимается испытанием готовых изделий двух типов. Ежемесячно предприятие получает для испытаний не более 300 изделий первого типа и не более 600 изделий второго типа. Качество каждого изделия проверяется на двух стендах А и Б (стенды могут использоваться для испытания каждого изделия в любой последовательности). Для проверки одного изделия первого типа требуется 36 минут испытаний на стенде А и 30 минут испытаний на стенде Б; для проверки одного изделия второго типа требуется 30 минут испытаний на стенде А и 9 минут испытаний на стенде Б. По техническим причинам стенд А может работать не более 360 часов в месяц, а стенд Б — не более 180 часов в месяц. Проверка одного изделия первого типа приносит предприятию 135 д.е. при- были, а проверка одного изделия второго типа— 75 д.е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий̆ первого типа и сколько изделий второго типа следует ежемесячно проверять для получения этой прибыли.
8. Предприниматель купил здание и собирается открыть в нём отель. В отеле могут быть номера категории Б площадью 15 квадратных метров и номера категории А площадью 18 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 732 квадратных метра. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов, как хочет. Номер категории Б будет приносить отелю 4000 рублей в сутки, а номер категории А — 5000 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму (в рублях) сможет заработать в сутки на своём отеле предприниматель? Сколько номеров категории Б и сколько номеров категории А будет в таком отеле?
9. Елена является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производится абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно часов в неделю, то за эту неделю они производят единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Елена платит рабочему рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, — рублей. Елена готова выделять 30 000 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?
10. Фёдор является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые изделия, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 25часов в неделю, то за эту неделю они производят изделий, и если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно часов в неделю, то они производят изделий. За каждый час работы (на каждом из заводов) Фёдор платит рабочему 360 рублей̆. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 30 изделий. Какую наименьшую сумму (в млн рублей̆) придётся тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?
11. В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 26 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах. Если на строительстве первого дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет 3д. е. Если на строительстве второго дома работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4 д.е. Дополнительные суточные накладные расходы (транспорт, питание и т. п.) обходятся в 4 д. е. в расчёте на одного рабочего при строительстве первого дома и в 3 д.е. при строительстве второго дома. Как нужно распределить на эти объекты рабочих бригады, чтобы все выплаты на их суточное содержание (т. е. суточная зарплата и суточные накладные расходы) оказались наименьшими? Сколько д. е. в сумме при таком распределении составят все суточные затраты (на зарплату и накладные расходы)?
12. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
13. На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работают 40 человек, и один рабочий за смену изготавливает 15 деталей А или 5 деталей В. На втором комбинате работают 160 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 15 деталей В.
Оба эти комбината поставляют детали на завод, где собирают изделие, для изготовления которого нужны 2 детали А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько таких изделий может собрать завод за смену?
14. Производство некоторого товара облагалось налогом в размере рублей за единицу товара. После того, как государство, стремясь увеличить сумму налоговых поступлений, увеличило налог на 25% (до ), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого, чтобы добиться максимальных налоговых сборов, если известно, что при налоге, равном рублей за единицу товара, объем производства составляет единиц, если это число положительно, и 0 единиц иначе.
15. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство тыс. ед. продукции на таком заводе равны в год. Если продукцию завода продать по цене тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении строительство окупится не более чем за 3 года?
Купить видеолекцию.
Добавить комментарий