Задача на кредиты. Задание 17

Заметим, что в этой задаче мы знаем размер выплаты по долгу со 2-го по 20-й платеж: она равна 50 тысяч рублей. Следовательно, мы можем расписать каждую выплату. Сделаем это.

Так как проценты начисляются 1-го числа каждого месяца, а выплата производится со 2-го по 14-е число каждого месяца, следовательно, проценты начисляются на оставшуюся к моменту очередной выплаты часть долга.

Каждая выплата состоит из выплаты по долгу и процентов на оставшуюся часть долга.

Мы знаем размер выплаты по долгу со 2-го по 20-й платеж, но не знаем размер выплаты по долгу в первый и в последний платеж.

Пусть размер выплаты по долгу в первый платеж равен тысяч рублей.

Распишем каждую выплату:

№ выплаты        выплата по долгу (тыс. р)           выплата процентов (тыс. р)

1                                                                    

2                                                                  

3                                                                  

4                                                                  

5                                                                  

20                                                                 

К моменту 21-го платежа было выплачено   тыс. рублей и 19 раз по 50 тыс. рублей, то есть всего было выплачено  тыс. рублей.

Остаток по долгу к моменту 21-го платежа платежа равен  тыс. рублей. В последний платеж выплата по долгу равна остатку по долгу к моменту последнего платежа, и проценты начисляются именно на эту величину. Таким образом, получаем 21-й платеж.

21                                                             

Общая сумма выплат равны размеру кредита и выплат по процентам.

Чтобы получить размер выплат по процентам, складываем элементы третьего столбца нашей таблицы.

Вынесем за скобку   , в скобках получим:

Заметим, что значения в третьем столбце, начиная со второй строки уменьшаются на 50, то есть представляют собой убывающую арифметическую прогрессию, в которой первый член равен   , последний равен , и прогрессия содержит 20 членов.

Сумму элементов третьего столбца со 2-го по 21 найдем по формуле суммы членов арифметической прогрессии.

Таким образом,

Отсюда получим общую сумму выплат:

Решим это уравнение относительно :

.

В ответе нам нужно записать размер долга на 15 число 20-го месяца, то есть размер последней выплаты по долгу.

Ответ: 80 тыс. рублей.