Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
13 Фев 2014
ПРОГРЕССИИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Геометрическая прогрессия. Часть 2

Мы дали определение геометрической прогрессии, вывели основные формулы и решили несколько базовых задач здесь. В этой статье мы рассмотрим более сложные задачи на геометрическую прогрессию.

1. Четыре числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию. Сумма крайних членов равна 27, а произведение средних равно 72. Найти четвертый член прогрессии.

Запишем эти числа, выразив их через b_1 и q:

b_1;~~b_1{q};~~b_1{q^2};~~b_1{q^3}

Запишем условие задачи:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{b_1+b_1{q^3}=27} {b_1{q}*b_1{q^2}=72} }}{ }

Нам нужно найти b_4=b_1{q^3}

Перепишем второе уравнение системы в таком виде:

b_1*b_1{q^3}=72.

Тогда получим такую систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{b_1+b_4=27} {b_1*b_4=72} }}{ }

Выразим  b_1 через b_4, и подставим во второе уравнение. Получим:

(27-b_4)b_4=72

{b_4}^2-27*b_4+72=0

Решим квадратное уравнение, получим или b_4=24

Проверим, какое значение b_4 нам подходит.

Если b_4=3, то b_1=27-b_4=24, то есть b_1> b_4 и данная прогрессия является убывающей. Но по условию данные числа составляют возрастающую геометрическую прогрессию, следовательно, это значение b_4 нам не подходит, и b_4=24

Ответ: 24.

 

2. Произведение первого и пятого членов геометрической прогрессии с положительными членами равно 12. Частное от деления второго члена не четвертый равно 3. Сколько членов содержит прогрессия, если сумма ее членов равна 8(sqrt{3}+1)

Запишем условие задачи в виде системы уравнений, выразив все данные через b_1 и q:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{b_1*(b_1{q^4})=12} {{b_1{q}}/{b_1{q^3}}=3} {{b_1(q^n-1)}/{q-1}=8(sqrt{3}+1)}}}{ }

Из второго уравнения системы получим, что 1/{q^2}=3, отсюда q=1/{sqrt{3}} или q=-1/{sqrt{3}}. Так как по условию наша последовательность с положительными членами, q=1/{sqrt{3}}.

Подставим q=1/{sqrt{3}} в первое уравнение системы и найдем b_1.

{(b_1)^2}/9=12; {(b_1)^2}=108; b_1=6{sqrt{3}} (прогрессия с положительными членами).

Теперь подставим значения b_1 и q в третье уравнение системы и найдем n.

{6{sqrt{3}}(1/{sqrt{3}}^n-1)}/{1/{sqrt{3}}-1}=8(sqrt{3}+1)

{6{sqrt{3}}{sqrt{3}}(1/{sqrt{3}}^n-1)}/{1-{sqrt{3}}}=8(sqrt{3}+1)

Умножим обе части равенства на знаменатель дроби левой части.

1/{sqrt{3}}^n-1={8(1-3)}/{6*3}

1/{sqrt{3}}^n-1=-{16}/{18}=-8/9

{(1/{sqrt{3}})}^n=1-8/9=1/9

3^{-n/2}=3^{-2}

n=4

 

Ответ: 4

 

3. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии равна 4. Найдите шестой член прогрессии, если сумма кубов ее членов равна {64}/7

Выпишем члены геометрической прогрессии:

b_1;~~b_1{q};~~b_1{q^2};~~ b_1{q^3};...

S={b_1}/{1-q}=4

Выпишем последовательность, члены которой равны кубам членов геометрической прогрессии.

{b_1}^3;~~{b_1}^3{q^3};~~{b_1}^3{q^6};...

Во второй последовательности первый член равен {b_1}^3, знаменатель равен {q^3}.

Сумма ее членов равна {{b_1}^3}/{1-q^3}={64}/7.

Получили систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{b_1}/{1-q}=4} {{{b_1}^3}/{1-q^3}={64}/7} }}{ } (1)

Решим систему. Возведем первое уравнение в куб, и разделим на второе. Получим:

{{(b_1)^3}/{(1-q)^3}}:{{{b_1}^3}/{1-q^3}}=64:{{64}/7}

{1-q^3}/{(1-q)^3}=7

{(1-q)(1+q+q^2)}/{(1-q)^3}=7

{1+q+q^2}/{(1-q)^2}=7

7(1-2q+q^2)=1+q+q^2

6q^2-15q+6=0

Решим квадратное уравнение.

q_1=2;~~q_2=1/2

Так как прогрессия убывающая, нас устраивает q=1/2

Найдем b_1. Подставим значение q в первое уравнение системы (1).

{b_1}/{1-1/2}=4

2b_1=4; b_1=2

Найдем b_6.

b_6=b_1q^5=2(1/2)^5=1/{16}=-0,0625

Ответ: 0,0625

 

4. Каждый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии в 5 раз больше суммы всех следующих за ним членов, а второй ее член на 5 единиц больше третьего. Найти сумму членов прогрессии.

Запишем в виде уравнения условие "каждый член бесконечной убывающей геометрической прогрессии в 5 раз больше суммы всех следующих за ним членов."

Возьмем b_n. Члены прогрессии, которые за ним следуют, образуют убывающую геометрическую прогрессии с тем же знаменателем. Первый член этой прогрессии равен b_{n+1}. Сумма это прогрессии равна S={b_{n+1} }/{1-q }

Получим уравнение: b_n =5*{b_{n+1} }/{1-q }

или

b_1{q^{n-1}} =5*{{b_1q^{n} }/{1-q }}

Разделим обе части на b_1{q^{n-1}}

1 =5q /{1-q }

Теперь запишем систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{1 =5q /{1-q }} {b_1q=b_1q^2+5} }}{ } (2)

Из первого уравнения системы (2) получаем q=1/6. Подставим q во второе уравнение системы и получим b_1=36

Теперь мы можем найти сумму членов этой прогрессии.

S={36}:{(1-1/6)}={216}/5

Ответ: {216}/5

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Геометрическая прогрессия. Часть 2
| Отзывов нет

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *