Математическое ожидание. Дисперсия. Стандартное отклонение.

Математическое ожидание. Дисперсия. Стандартное отклонение.

В этой статье мы рассмотрим определение и свойства математического ожидания, а также рассмотрим примеры решения задач.

Также коснемся дисперсии и стандартного отклонения.

Рассмотрим некоторую случайную величину , которая может принимать числовые значения

Пусть распределение вероятностей случайной величины  задано таблицей (величина   может принимать свое значение с вероятностью ):

Математическим ожиданием случайной величины  называют число

Математическое ожидание  называют также ожидаемым значением случайной величины , средним значением случайной величины .

Свойства математического ожидания.

Свойство 1. Пусть - случайная величина, - некоторое число. Рассмотрим случайную величину . Тогда

Свойство 2. Пусть  и - две случайные величины. Тогда  - тоже случайная величина, и при этом:

Это значит, что математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Свойство 3. Если случайная величина  принимает значения  с одинаковой вероятностью, то

Это значит, что если все значения случайной величины  равновероятны, то математическое ожидание  равно среднему арифметическому числовых значений случайной величины .

Пример 1. Страховой полис КАСКО в страховой компании стоит 35 000 рублей. По статистике в течение года владелец автомобиля попадает в мелкую аварию с вероятностью 0,18, и средняя сумма страховой выплаты при этом равна 50 000 рублей. С вероятностью 0,034 автомобилист попадает в серьезную аварию, и средняя сумма выплаты при этом 700 000 рублей. Найдите

1. Математическое ожидание случайной величины "средняя сумма страховой выплаты"
2. Математическое ожидание случайной величины "средний доход страховой компании от продажи одного полиса"

Решение. показать

Пример 2. Случайная величина задана распределением: 

1. Сколько значений принимает случайная величина  ?
2. Найдите математическое ожидание случайной величины  .

Решение. показать

Составим таблицу распределения случайной величины :

1. Случайная величина  принимает значения 0; 1; 4; 9, то есть всего 4 значения.
2. Найдем математическое ожидание случайной величины  :

Ответ:

Пример 3. В торговом центре установлены два автомата, продающие кофе. С вероятностью   к вечеру в первом автомате заканчивается кофе. Во втором автомате кофе заканчивается к вечеру с вероятностью . Найдите математическое ожидание числа автоматов, в которых к вечеру закончится кофе.

Решение. показать

Пример 4. Баскетболист попадает в корзину с вероятностью . Найдите математическое ожидание числа попаданий при 50 бросках.

Решение. показать

Так как вероятность попадания в корзину равна , значит, в среднем из 10 бросков будет 7 попаданий. Соответственно, из 50 бросков, будет в среднем попаданий.

Значит, математическое ожидание числа попаданий при 50 бросках равно 35.

Ответ:

Пример 5. Василий пытается отправить СМС в условиях слабой мобильной связи. Телефон делает попытки отправить СМС до тех пор, пока это не удастся. Известно, что вероятность удачной попытки равна независимо от предыдущих попыток. Найдите математическое ожидание числа сделанных попыток.

Решение. показать

По условию вероятность отправки СМС равна . Это значит, что из 100 попыток отправить СМС в среднем удачными окажутся 5. То есть, чтобы отправить 1 СМС нужно сделать в среднем 20 попыток. Значит, математическое ожидание числа сделанных попыток равно 20.

Ответ:

Пример 6. Найдите математическое ожидание случайной величины "число неудач" в серии из 16 испытаний Бернулли с вероятностью успеха в одном испытании.

Решение. показать

Вероятность неудачи равна . Это значит, что в среднем из 10 испытаний 7 окажутся неудачными. То есть в среднем неудачными окажутся  всех испытаний. Соответственно, из 16 испытаний неудачными окажутся  испытаний.

Значит, математическое ожидание случайной величины   равно .

Ответ:

Пример 7. Найдите математическое ожидание случайной величины  "число очков, выпавших на игральной кости".

Решение. показать

Так как при бросании кости с одинаковой вероятностью могут выпасть числа  , то математическое ожидание случайной величины  равно среднему арифметическому возможных значений этой величины.

.

Ответ:

Пример 8. Игральную кость бросают 5 раз. Найдите математическое ожидание суммы выпавших очков.

Решение. показать

Математическое ожидание  числа очков, выпавших на игральной кости при каждом броске равно (см. предыдущий пример). По свойству 2 математическое ожидание суммы выпавших очков равно сумме математических ожиданий числа очков при каждом броске. Это значит, что математическое ожидание суммы выпавших очков равно .

Ответ:

На практике часто нужно знать, на сколько случайная величина отклоняется от своего среднего значения, то есть от математического ожидания этой случайно величины. Чтобы найти насколько одна величина отличается от другой, находят разность между этими величинами. Но чаще не имеет значения, в какую сторону происходит отклонение, то есть больше или меньше случайная величина своего среднего значения, а важно узнать именно абсолютное значение отклонения. Поэтому разность между значением случайной величины и ее математическим ожиданием возводят в квадрат.

Дисперсией случайной величины называют математическое ожидание случайной величины и обозначают :

Иногда бывает удобнее использовать формулу

Формулу (2) можно получить из формулы (1), используя свойства математического ожидания.

То есть можно сказать, что дисперсия - это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Другими словами, дисперсия - это средний квадрат отклонения.

Дисперсия является мерой рассеивания. Но часто бывает удобно, чтобы эта мера рассеивания имела ту же размерность, что случайная величина. Например, если мы рассматриваем выборку измерений дневной температуры в течение месяца, то дисперсия будет иметь размерность градусы в квадрате. Это неудобно. Чтобы избежать такой ситуации, вводится величина . Эта величина называется стандартным отклонением.

Если проводится некоторое измерение, и в результате измерения получили величину , то во многих случаях с вероятностью примерно 0,95 истинное значение измеряемой величины находится в интервале .

Пример 9.

В оптовом магазине минеральная вода продаётся либо поштучно, либо упаковками по 2 или 16 бутылок. Предпочтения покупателей этой воды известны: вероятность покупки одной бутылки равна 0,74, упаковки из двух бутылок – 0,24, упаковки из 16 бутылок – 0,02. Найдите дисперсию величины «число бутылок в одной покупке».

Решение. 

показать

На практике не всегда известна вероятность случайной величины. Чаще проводят серию экспериментов для измерения случайной величины. Количество измерений конечно, и представляет собой ограниченную выборку из генеральной совокупности (то есть совокупности всех возможных значений характеристик измеряемых величин). Мы можем найти дисперсию этой выборки характеристик случайной величины, которая называется выборочной дисперсией.

Выборочной средней называется среднее арифметическое всех значений выборки совокупности:

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений характеристик величины от их среднего значения.

Но выборочная дисперсия  будет отличаться от дисперсии генеральной совокупности, полученной с помощью математических вычислений, когда известна вероятность каждого значения, поскольку находя выборочную дисперсию мы учитываем не все значения совокупности. То есть, находя выборочную дисперсию, мы получаем смещенную оценку дисперсии генеральной совокупности. Чтобы найти несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности по дисперсии выборки, вводят коэффициент и пользуются формулой:

Пример 10.

Случайная выборка из некоторой генеральной совокупности содержит пять значений:

1,4, 1,2, 1,3, 1,4 и 1,2.

По этой выборке найдите несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.

Решение.

показать

Репетитор по математике И.В. Фельдман