Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
13 Апр 2015
14 Задание (2022) (C3)ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение иррационального неравенства

Решим иррациональное неравенство из тренировочного варианта А.Ларина №111:

(x+3)(x+1)+3(x+3)sqrt{{x+1}/{x+3}}+2<=0 

1. Найдем ОДЗ. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

{x+1}/{x+3}>=0

Отсюда  x<-3, ~~x>=-1

Запомним эти промежутки, они нам понадобятся в дальнейшем решении.

2. Если мы внесем выражение  x+3 под корень, то получим под корнем произведение (x+3)(x+1), и тогда напрашивается очевидная замена.

Но в этом месте нужно быть очень аккуратными. Вспомним, как мы вносим множитель под знак квадратного корня:

{a}sqrt{b}=sqrt{a^2b}, если a>=0

{a}sqrt{b}=~-~sqrt{a^2b}, если a<0

В нашем случае:x+3>=0 если x>=-3.

(Заметим, что если x>=-1, то x>=-3)

и

x+3<0 если x<-3

Учтем ОДЗ и рассмотрим два случая:

1. x<-3, в этом случае получим неравенство

(x+3)(x+1)~-~3sqrt{(x+3)(x+1)}+2<=0 

2. x>=-1, в этом случае получим неравенство

(x+3)(x+1)+3sqrt{(x+3)(x+1)}+2<=0 

Рассмотрим первый случай:

x<-3

(x+3)(x+1)-3sqrt{(x+3)(x+1)}+2<=0 

Введем замену. Пусть sqrt{(x+3)(x+1)}=t, t>=0. Получим квадратное неравенство относительно t:

t^2~-~3t+2<=0

t_1=1,~~t_2=2

Получаем 1<=t<=2

Вернемся к исходной переменной и получим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x<-3} {sqrt{(x+3)(x+1)}>=1} {sqrt{(x+3)(x+1)}<=2}}}{ } (1)

Решим второе и третье неравенства системы.

sqrt{(x+3)(x+1)}>=1

(x+3)(x+1)>=1

x^2+4x+3>=1

x^2+4x+2>=0

x_1=-2-sqrt{2},~~x_2=-2+sqrt{2}

sqrt{(x+3)(x+1)}<=2

(x+3)(x+1)<=4

x^2+4x+3<=4

x^2+4x-1>=0

x_1=-2-sqrt{5},~~x_2=-2+sqrt{5}

Изобразим решение всех неравенств системы (1) на одной координатной прямой:

Итак, решением системы (1) является промежуток [-2-sqrt{5};-2-sqrt{2}]

Рассмотрим второй случай:

x>=-1

В этом случае получаем неравенство

(x+3)(x+1)~+~3sqrt{(x+3)(x+1)}+2<=0 

Введем замену. Пусть sqrt{(x+3)(x+1)}=t, t>=0. Получим квадратное неравенство относительно t:

t^2~+~3t+2<=0

t_1=-1,~~t_2=-2

Получаем -2<=t<=-1 при условии, что t>=0. Очевидно, что в этом случае нет решений.

Ответ: [-2-sqrt{5};-2-sqrt{2}]

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение иррационального неравенства
| Отзывов (7)

Отзывов (7)

  1. Элла
    в 22:44

    Красивое решение! Я, например, сразу заменила х+1=t. тогда х+3=t+2. затем по ходу решения снова замена: под корнем t(t+2)=m.В принципе решение аналогично Вашему.
    Ответить
  2. Диана
    в 12:49

    Здравствуйте,x^2+4x+3=0и корни посчитаны не правильно !?
    Ответить
    • Инна
      в 13:16

      А как правильно?
      Ответить
      • Диана
        в 16:23

        д=16-4*1=12 корень из д =2корень из 3,а у вам 2 корень из 5
        Ответить
        • Инна
          в 16:41

          д=16-4*3=4
          Ответить
          • Диана
            в 17:40

            X^2+4x-1>=0 вот в этом неравенстве
            Ответить
          • Инна
            в 17:48

            д=16+4*1=20
            Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *