Решение уравнений и неравенств с модулем часто вызывает затруднения. Однако, если хорошо понимать, что такое модуль числа, и как правильно раскрывать выражения, содержащие знак модуля, то наличие в уравнении выражения, стоящего под знаком модуля, перестает быть препятствием для его решения.
Немного теории. Каждое число имеет две характеристики: абсолютное значение числа, и его знак.
Например, число +5, или просто 5 имеет знак "+" и абсолютное значение 5.
Число -5 имеет знак "-" и абсолютное значение 5.
Абсолютные значения чисел 5 и -5 равны 5.
Абсолютное значение числа х называется модулем числа и обозначается |x|.
Как мы видим, модуль числа равен самому числу, если это число больше или равно нуля, и этому числу с противоположным знаком, если это число отрицательно.
Это же касается любых выражений, которые стоят под знаком модуля.
Правило раскрытия модуля выглядит так:
|f(x)|= f(x), если f(x) ≥ 0, и
|f(x)|= - f(x), если f(x) < 0
Например |x-3|=x-3, если x-3≥0 и |x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0.
Чтобы решить уравнение , содержащее выражение, стоящее под знаком модуля, нужно сначала раскрыть модуль по правилу раскрытия модуля.
Тогда наше уравнение или неравенство преобразуется в два различных уравнения, существующих на двух различных числовых промежутках.
Одно уравнение существует на числовом промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля неотрицательно.
А второе уравнение существует на промежутке, на котором выражение, стоящее под знаком модуля отрицательно.
Рассмотрим простой пример.
Решим уравнение:
|x-3|=-x2+4x-3
1. Раскроем модуль.
|x-3|=x-3, если x-3≥0, т.е. если х≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x, если x-3<0, т.е. если х<3
2. Мы получили два числовых промежутка: х≥3 и х<3.
Рассмотрим, в какие уравнения преобразуется исходное уравнение на каждом промежутке:
А) При х≥3 |x-3|=x-3, и наше уранение имеет вид:
x-3=-x2+4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х≥3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены:
x2 -3х=0
и решим это уравнение.
Это уравнение имеет корни:
х1=0, х2=3
Внимание! поскольку уравнение x-3=-x2+4x-3 существует только на промежутке х≥3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х2=3.
Б) При x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
3-x=-x2+4x-3
Внимание! Это уравнение существует только на промежутке х<3!
Раскроем скобки, приведем подобные члены. Получим уравнение:
x2-5х+6=0
х1=2, х2=3
Внимание! поскольку уравнение 3-х=-x2+4x-3 существует только на промежутке x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х1=2.
Итак: из первого промежутка мы берем только корень х=3, из второго - корень х=2.
Ответ: х=3, х=2
Скоро сдача ЕГЭ, сохранюка я Ваш сайт 🙂
Кстати хороший, красивый сайт! Всё простенько, понятненько, приятненько 🙂
Удачи в дальнейшем развитии сайта, не останавливайтесь !!!
Спасибо, Владимир! Взаимно!
Подкажите как решить
Подкажите как решить
х(х²-4)=х²+3
Пожалуйста
Как решить 4-5x=|5x-4|
следовательно
|(x^2)-9|+|x-2|=5
см здесь: //ege-ok.ru/2012/09/07/modul-reshenie-uravneniy-i-neravenstv-s-modulem-videolektsiya-2
Помогите пожалуйста |4x+3|>5
4x+3>5 или 4x+3< -5 x>1/2 или x<-2
Спасибо, что напомнили. Когда то такие уравнения как орехи щелкал.
Со школы прошло 20 лет, а для меня уравнения уже подобны китайской грамоте. Вот что значит не применять полученные знания на практике.
Зачем при опускании модуля возводили правую часть возводили в квадрат?
Спасибо.
Если я правильно поняла вопрос: правая часть, которая без модуля, остается без изменений. В каком месте я возвожу ее в квадрат?
Решите уравнение:
1)10/3 +|х|= 2 2)30/3+ 4|х|= 2
|x|=2-10/3<0
Нет решений.
Помогите пожалуйста м объяснить, я не понимаю
1)|x|=-7,4
2)|x|=0,1
первое уравнение решений не имеет, так как модуль может принимать только неотрицательные значения.
Во втором два корня: х=0,1 и х=-0,1
Как решить квадратное уравнение: 2х-(х+1)²=3х²-5? подскажите пожалуйста!!!
Раскрыть скобки, и перенести все влево. Потом через дискриминант
x-3=-x +4x-3
справа всегда стоял квадрат
Ааа ,понял,я неправильно прочитал задание ,с мобильника сижу,
спасибо
Получили результаты ЕГЭ сына. В части С есть задание на решение уравнения с модулем — 0 баллов из 4 за решение. Я не вижу, где ошибка. Учительница смотреть отказалась. М.б. он решил не до конца, но это не 0 .
М.б. Вы разберете это уравнение?
уравнение: | 5/x — 3 | = аx — 1
Задание: При каком значении параметра «а» уравнение будет иметь как минимум 3 корня.
сын в ответе написал а≥ -1/5 для х≤ 5/3 и а≤ 4/5 для х>5/3.
Посмотрите здесь: //ege-ok.ru/2012/06/20/zadanie-s5-iz-ege-2012/
Спасибо.
надо решить уравнение |2-x|=2x помогите как правильно решить!