Степени и корни

Степени и корни

Степени.

Выражение   называется степенью.

В этом выражении число   называется основанием степени, а число    - показателем степени.

Если - натуральное число, то , то есть степень равна произведению множителей, каждый из которых равен .

Для положительных чисел    и    и рациональных чисел    и   справедливы следующие свойства степени:

1.

Любое число в нулевой степени равно 1.

2.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели складываются.

3.

При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели вычитаются.

4.  

При возведении в степень произведения, в эту степень возводится каждый множитель.

5.  

При возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель дроби и знаменатель.

6.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

7.

При возведении в отрицательную степень, основание степени "переворачивается", и знак  показателя степени меняется на противоположный.

Корни.

:

Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число, n-я степень которого равна :

Внимание! Степень корня - это натуральное число, большее 1.

,

,

Свойства корня n-ой степени:

1.

2.

3.

4.

5.

Частные случаи:

1. Если показатель корня целое нечетное число (), то подкоренное выражение может быть отрицательным.

В  случае нечетного показателя уравнение  при любом действительном значении и целом  ВСЕГДА имеет единственный корень:

,

Для корня нечетной степени справедливо тождество:

,

2. Если показатель корня целое четное число (), то подкоренное выражение  не может быть отрицательным.

В  случае четного показателя уравнение имеет

при  единственный корнь 

и, если , два корня:

и  

Для корня четной степени справедливо тождество:

Внимание! Для корня четной степени справедливы равенства:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.