Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-01-23

Главная » СТАТЬИ » ВИДЕОУРОКИ » Решение показательных уравнений

23 Янв 2012

ВИДЕОУРОКИПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение показательных уравнений

В этой статье вы познакомитесь со всеми типами показательных уравнений и алгоритмами их решения, научитесь распознавать, к какому типу принадлежит показательное уравнение, которое вам надо решить, и применять для его решения соответствующий метод. Подробное решение примеров показательных уравнений каждого типа вы сможете посмотреть в соответствующих ВИДЕОУРОКАХ.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Прежде чем начать решать показательное уравнение, полезно сделать несколько предварительных действий, которые могут значительно облегчить ход его решения. Вот эти действия:

1. Разложите все основания степеней на простые множители.

2. Корни представьте в виде степени.

3. Десятичные дроби представьте в виде обыкновенных.

4. Смешанные числа запишите в виде неправильных дробей.

Пользу этих действий вы осознаете в процессе решения уравнений.

Рассмотрим основные типы показательных уравнений и алгоритмы их решения.

1. Уравнение вида

$a^{f(x)}=a^{g(x)}$

Это уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x)

Посмотрите в этом ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения $1/27root{4}{9^{3x-1}}=27^{-{2/3}}$ этого типа.

2. Уравнение вида

$A_1a^{kx+b_1}+A_2a^{kx+b_2}+A_3a^{kx+b_3}+...=C$

В уравнениях этого типа:

а) все степени имеют одинаковые основания

б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени равны.

Чтобы решить это уравнение, нужно вынести за скобку множитель в наименьшей степени.

Пример решения уравнения этого типа:

$3^{12x-1}-9^{6x-1}-27^{4x-1}+81^{3x+1}=2192$

посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ.

3. Уравнение вида

$A_1a^{k_1x+b_1}+A_2a^{k_2x+b_2}+A_3a^{k_3x+b_3}+...=c$

Уравнения этого типа отличаются тем, что

а) все степени имеют одинаковые основания

б) коэффициенты при неизвестном в показателе степени разные.

Уравнения такого типа решаются с помощью замены переменных. Прежде чем вводить замену, желательно освободиться от свободных членов в показателе степени. ( b_1 , b_2 , и т.д)

Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ решение уравнения этого типа:

$4^{x^2-x}-17*2^{x^2-x+2}+256=0$

4. Однородные уравнения вида
$A{{(a^{f(x)})}^2}+B{a^{f(x)}b^{g(x)}}+C{{(b^{g(x)})}^2}=0$

Отличительные признаки однородных уравнений:

а) все одночлены имеют одинаковую степень,

б) свободный член равен нулю,

в) в уравнении присутствуют степени с двумя различными основаниями.

Однородные уравнения решаются по сходному алгоритму.

Чтобы решить уравнение такого типа, разделим обе части уравнения на ${(b^{g(x)})}^2$ (можно разделить на $a^{f(x)}b^{g(x)}$ или на ${(a^{f(x)})}^2$ )

Внимание! При делении правой и левой части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни. Поэтому необходимо проверить, не являются ли корни того выражения, на которое мы делим обе части уравнения, корнями исходного уравнения.

В нашем случае, поскольку выражение ${(b^{g(x)})}^2$ не равно нулю ни при каких значениях неизвестного, мы можем делить на него без опаски. Разделим левую часть уравнения на это выражение почленно. Получим:

$A{{(a^{f(x)})}^2}/{{(b^{g(x)})}^2}+B{a^{f(x)}b^{g(x)}}/{{(b^{g(x)})}^2}+C{{(b^{g(x)})}^2}/{{(b^{g(x)})}^2}=0$

Сократим числитель и знаменатель второй и третьей дроби:

$A({{a^{f(x)}/{b^{g(x)}})}^2}+B({{a^{f(x)}/{b^{g(x)}})}}+C=0$

Введем замену:

$t={a^{f(x)}}/{b^{g(x)}}$ , причем t>0 при всех допустимых значениях неизвестного.

Получим квадратное уравнение:

At^2+Bt+c=0

Решим квадратное уравнение, найдем значения , которые удовлетворяют условию t>0 , а затем вернемся к исходному неизвестному.

Смотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение однородного уравнения:

6root{x}{9}+6root{x}{4}-13root{x}{6}=0

5. Уравнение вида

${f(x)}^{g(x)}={f(x)}^{h(x)}$

При решении этого уравнения будем исходить из того, что f(x)>0

Исходное равенство выполняется в двух случаях:

1. Если f(x)=1 , поскольку 1 в любой степени равна 1,

или

2. При выполнении двух условий:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)>0} {g(x)=h(x)} {x-8y+9z=0}}}{ }

Посмотрите в ВИДЕОУРОКЕ подробное решение уравнения

${(1-x^2)}^{{(2+x)}^2}={(1-x^2)}^{(8x-2)(x+2)}$

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (57)

Отзывов (57)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

Анастасия

2013-10-08 в 09:36

помогите,пожалуйста,решить! 3^x-5 — 2^x-4>3^x-6 + 2^x-7 никак не дойдет..

Ответить
- Инна
  
  2013-10-08 в 09:57
  
  1. Степени с основанием 2 перенести в одну сторону, с основанием 3 — в другую.
  2. В правой и левой частях равенства вынести за скобку степень с меньшим показателем
  
  Ответить
  - Анастасия
    
    2013-10-08 в 10:12
    
    а что делать после того,как у меня получилось вот это : 3^x-6* (3)=2^x-7* (2^3)?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-10-08 в 10:19
      
      Должно быть 3^x-6* (3-1)=2^x-7* (2^3+1)
      
      Ответить
      - Анастасия
        
        2013-10-08 в 10:25
        
        да,прошу прощения,невнимательность.а что делать с этим: 3^x-6 * 2=2^x-7 * 9 ? на что нужно разделить обе части?
        
        Ответить
      - Инна
        
        2013-10-08 в 10:38
        
        На 9 и на 2
        
        Ответить
      - Анастасия
        
        2013-10-08 в 11:16
        
        спасибо огромное,но я все же не поняла..получается ведь после деления обеих частей: 3^x-6=2^x-7? обьясните непонятливому человеку..
        
        Ответить
      - Инна
        
        2013-10-08 в 11:40
        
        Нет, получается 3^x-8=2^x-8
        
        Ответить
      - Инна
        
        2013-10-08 в 11:53
        
        Там, насколько я помню, было неравенство: 3^x-8>2^x-8
        
        Ответить
Анастасия

2013-10-08 в 12:03

С самого начала было такое : 3^x-5 – 2^x-4>3^x-6 + 2^x-7.Потом мы пришли вот к такому уравнению 3^x-6 * 2=2^x-7 * 9.А вот что дальше делать,до меня так и никак не доходит..Обьясните поподробнее,как решать дальше?Буду очень благодарна

Ответить
- Инна
  
  2013-10-08 в 12:11
  
  Преобразования те же, только вместо знака = ставим >.
  
  Ответить
  - Анастасия
    
    2013-10-08 в 12:31
    
    Если получается 3^x-8>2^x-8 ,то что делать дальше?
    
    Ответить
    - Инна
      
      2013-10-08 в 12:59
      
      Делим обе части на 2^x-8, а дальше см. здесь: //ege-ok.ru/2012/02/09/reshenie-pokazatelnyih-neravenstv/
      
      Ответить
Никита

2013-10-12 в 11:38

Прошу прощения, я хочу уточнить один вопрос, в ролике с решением уравнения 3 типа, в замене 2^2t на у, в следующей строке вместо у^2, появляется t^2, так и должно быть,как вы этополучили или это описка.

Ответить
- Инна
  
  2013-10-12 в 12:47
  
  Конечно, это описка.
  
  Ответить
Алеся

2014-03-12 в 13:05

помогите вычислить: корень 5 степени из -32*1/16^1/4*корень 3 степени из 125

Ответить
- Инна
  
  2014-03-13 в 12:40
  
  Все подкоренные выражения нужно разложить на простые множители.
  
  Ответить
ирина

2014-05-13 в 14:46

в пятом типе уравнения я не поняла: почему основание степени должно быть только 1? разве 0 в любой степени не будет 0? т.е. равенство также выполниться, если 1-х^2=0?

Ответить
- Инна
  
  2014-05-13 в 15:42
  
  Есть две точки зрения на этот вопрос. Посмотрите здесь: //ege-ok.ru/wp-content/uploads/2014/01/Merzlyak_algebr_trenagor.pdf стр 179. Я придерживаюсь первой точки зрения.
  
  Ответить
Любовь

2014-05-31 в 13:59

в верхнем неравенстве пять в степени
икс плюс одна пятая в степени икс больше двух. А в нижнем: два в степени икс
в квадрате меньше или равно шестидесяти четырем, умноженном на два в степени
икс. Решите систему неравенств

Ответить
Азат

2014-07-04 в 06:11

5*25^x-34*15^x+9*9^x
Просто забыл как решать. Напишите пожалуйста ход решения. Заранее благодарен

Ответить
- Азат
  
  2014-07-04 в 06:11
  
  5*25^x-34*15^x+9*9^x=0
  
  Ответить
- Инна
  
  2014-07-05 в 16:29
  
  Это однородное уравнение: разделить обе части на 9^x
  
  Ответить