Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-01-27

Главная » СТАТЬИ » 06 Задание (2022) » Производная. Физический смысл производной. Задание В8 (2015)

27 Янв 2012

06 Задание (2022)ПРОИЗВОДНАЯ

Производная. Физический смысл производной. Задание В8 (2015)

В этой статье мы познакомимся с понятием производной функции, с физическим смыслом производной и решим несколько задач из Задания В9 из Открытого банка задач для подготовки к ЕГЭ по математике на использование физического смысла производной.

Чтобы понять, что такое производная, проведем аналогию с мгновенной скоростью. Рассмотрим материальную точку, которая движется по прямой с переменной скоростью. Поскольку скорость точки все время меняется, мы можем говорить о ее скорости только в данный момент времени t_0 . Чтобы найти скорость точки в момент времени t_0 , рассмотрим маленький промежуток времени Delta{t} . За этот промежуток времени точка пройдет расстояние Delta{S} . Тогда скорость точки будет примерно равна {Delta{S}}/{Delta{t}} . Чем меньше промежуток времени мы будем брать, тем точнее значение скорости мы получим. В пределе, при Delta{t}right{0} , мы получим точное значение мгновенной скорости в момент времени t_0 :

V= lim{Delta{t}right{0}}{{Delta{S}}/{Delta{t}}}

Аналогичным образом введем понятие производной.

Рассмотрим произвольную функцию f(x) и зафиксируем точку x_0 . Значение функции в этой точке равно f(x_0) . Возьмем приращение аргумента Delta{x} . Значение функции в этой точке равно $f(x_0+Delta{x})$ . Получим приращение функции $Delta{f}=f({x_0+Delta{x}})-f({x_0})$

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

{f}prime(x)= lim{Delta{x}right{0}}{{Delta{f}}/{Delta{x}}}

Физический смысл производной.

Итак, мы видим, что по аналогии с мгновенной скоростью, производная функции в точке x_0 . показывает скорость изменения функции в этой точке.

Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(x) , то, чтобы найти скорость тела в момент времени t_0 , нужно найти значение производной функции S(x) в точке t_0 :

$v({t_0})={S}prime{(t_0)}$

Пример 1. Решим задание В9 (№ 119975) из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике.

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где x(t) — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени .

Решение.

1. Найдем производную функции x(t)=6t^2-48t+17 :

{x}prime(t)=12t-48

2. Найдем значение производной в точке t=9 :

{x}prime(9)=12*9-48

{x}prime(9)=60

Ответ: 60 м/с.

Пример 2. Решим задание В9 (№ 119978)

Материальная точка движется прямолинейно по закону , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Решение.

Если нам известна скорость точки в некий момент времени , следовательно нам известно значение производной в точке t_0 .

Найдем производную функции x(t)=t^2-13t+23

{x}prime(t)=2t-13

По условию, скорость точки равна 3 м/с, значит, значение производной в момент времени t_0 равно 3.

Получаем уравнение:

${x}prime(t_0)=2t_0-13=3$

Отсюда t_0=8 с.

Ответ: 8

Пример 3. Аналогичное задание. Задание В9 (№119979)

Материальная точка движется прямолинейно по закону ${1/3}t^3-3t^2-5t+3$ , где — расстояние от точки отсчета в метрах, — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Решение.

Найдем производную функции ${1/3}t^3-3t^2-5t+3$ :

${x}prime(t)= t^2-6t-5$

По условию, скорость точки равна 2 м/с, значит, значение производной в момент времени t_0 равно 2.

Получаем уравнение:

${x}prime(t_0)= {t_0}^2-6{t_0}-5=2$

Решим его:

${t_0}^2-6{t_0}-5=2$

${t_0}^2-6{t_0}-5-2=0$

${t_0}^2-6{t_0}-7=0$

t_1=7 , t_2=-1 - не подходит по смыслу задачи: время не может быть отрицательным.

Ответ: 7

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать
Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Производная. Физический смысл производной. Задание В8 (2015)

Инна | Отзывов (14) | Метки: производная

Отзывов (14)

Юлия

2012-01-27 в 18:07

отличная помощь школьникам, коротко и понятно!

Ответить
- Роман
  
  2013-12-01 в 10:55
  
  А мне кажется это отличная помощь не школьникам, а роботам. Которых учат знать много непонятных слов и запоминать формулы. Если Вы со мной несогласны, то объясните мне смысл производной без этого абстрактного дерьма (простите за грубость): Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. (прямо представляю какой огонь интереса зажигается в глазах 9ти классника после этой фразы)
  
  Объясните на простых словах, человеку далекому от математики, для чего мне все это надо (желательно с примерами не про скорость «материальной точки» (кстати что это?), а из реальной жизни). И подумайте, часто ли учителя объясняют это своим ученикам.
  
  Ответить
  - Инна
    
    2013-12-01 в 17:14
    
    Хороший вопрос.) А надо вот зачем. Если какой-то процесс описывается некоторой функций, которая выражает зависимость одного параметра от другого, то производная этой функции — скорость этого процесса.
    Спасибо, Роман, за идею. Надо писать статьи под рубрикой «зачем это надо»
    
    Ответить
  - любовь
    
    2014-01-25 в 10:45
    
    Есть учащиеся, которые учатся осознанно, интересуются, задают вопросы, развиваются. Есть ученики: принимают только то, что дает учитель, не больше. И есть, как ты говоришь, школьники, которые просто ходят в школу, а не учатся. Вот им ничего не нужно: сидели бы на печи, если бы мамка из дома не выгоняла каждое утро и все. Ты, Рома, кто???
    
    Ответить
    - Марина
      
      2014-03-13 в 07:09
      
      Любовь вы это зря. Правда в том, что в жизни это редко кому пригодится. Я не против знаний. Мой сын Руслан учится на отделении радиоэлектроника. Ему понятно всё и просто. Но большинству ребят не нужны такие глубокие познания. Я до сих пор учусь, правда мне роднее электротехника.Работаю электромехаником на тяговой подстанции.
      
      Ответить
Сергей

2012-01-27 в 18:40

Думаю для студентов нужный сайт

Ответить
Виктория

2012-01-27 в 18:53

Спасибо за информацию. Очень люблю точные науки. По жизни — технарь.

Ответить
Школа Ясности

2013-09-25 в 09:46

Вот интересная статья для понимания производной: «Производная — на примере с банковским счётом«

Ответить
Алла

2015-01-09 в 13:45

Сайт супер!Всё ясно и понятно)

Ответить
Паша

2015-03-22 в 15:52

как вы нашли т1 и т2 расскажите подробней?

Ответить
- Инна
  
  2015-03-22 в 16:04
  
  Нужно решить квадратное уравнение.
  
  Ответить
Арсений

2016-06-08 в 21:38

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, а какие действия нужно выполнить, чтобы по заданному уравнению (например, уравнение прямолинейного движения материальной точки x(t)) узнать в какой момент времени t скорость тела V была максимальная?

Ответить
- Инна
  
  2016-06-09 в 07:17
  
  $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  Берем производную от функции зависимости расстояния от времени, получаем функцию зависимости скорости от времени. И исследуем ее на максимум — минимум.
  
  Ответить
  - Арсений
    
    2016-06-09 в 12:21
    
    Спасибо большое!
    
    Ответить

Видеокурсы Инны Фельдман

Рубрики

Производная. Физический смысл производной. Задание В8 (2015)

Для вас другие записи этой рубрики:

Отзывов (14)

Добавить комментарий Отменить ответ

ПАРОЛЬ ДЛЯ БИБЛИОТЕКИ 010101

Подпишитесь на рассылку сайта и ВЫБЕРИТЕ В ПОДАРОК ЛЮБУЮ ВИДЕОЛЕКЦИЮ!

репетитор по информатике

Видеокурсы Анны Малковой.

Рекомендую:

Последние записи

архив записей