Особые логарифмические неравенства. Задание С3

Отдельной темой при изучении показательных и логарифмических неравенств стоят неравенства, содержащие неизвестное в основании и в показателе степени.

В этой статье мы изучим пошаговый алгоритм решения неравенств, которые назовем "особые логарифмические неравенства", хотя их, с тем же успехом, можно отнести к "особым показательным неравенствам".

Рассмотрим решение неравенств вида:

Как мы знаем, переход в показательном неравенстве от степеней к показателям степеней зависит от основания степени:

если основание степени больше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства сохраняется

если основание степени больше нуля, но меньше единицы, то при переходе к выражениям, стоящим в показателе, знак неравенства меняется на противоположный.

Поскольку наше неравенство не совсем показательное: основание нашей степени зависит от х, рассмотрим отдельно случаи, когда  и . В этих случаях нам надо найти, при каких значениях х выполняются эти условия, а затем проверить, верно ли наше неравенство при этих значениях неизвестного.

Нужно обратить внимание на то, что если в основании степени стоит ноль, то показатель степени должен быть положительным.

В общем виде мы получим совокупность четырех систем неравенств:

На практике неравенства c неизвестным в основании и в показателе степени удобно решать по такому алгоритму:

1. Рассматриваем отдельно два случая, когда основания степеней равны 0 или 1. Найдем, при каких значении х  выполняются эти условия и проверим, верно ли наше неравенство при этих значениях х. Следим за тем, чтобы у степени, в основании  которой стоит ноль,  показатель был положительным.

2. Записываем правую часть неравенства в виде степени с тем же основанием, что и в левой части.

3. Рассматриваем  еще два случая, когда основания степеней принимают значения больше ноля или от ноля до единицы.

Давайте рассмотрим пример решения неравенства такого типа.

Решим неравенство:

Запишем системы, которые у нас получатся:

1.

2.

3.

4.

Запишем решения каждой системы:

1) 

2)

3) 

4) (

Объединим все решения: 

Ответ: 

Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением неравенства уровня С3:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.