Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-02-21

Главная » СТАТЬИ » 14 Задание (2022) (C3) » Решение иррациональных уравнений с помощью замены переменной

21 Фев 2012

14 Задание (2022) (C3)ВИДЕОУРОКИИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение иррациональных уравнений с помощью замены переменной

В этой статье я расскажу о том, как решать довольно сложные иррациональные уравнения с помощью замены переменной.

Я не устаю повторять, что замена переменной и разложение на множители - два универсальных приема, которые надо всегда держать в голове. Однако, не всегда замена переменной очевидна, и о некоторых видах замены догадаться сложно, их нужно знать.

В этой статье я хочу поделиться с вами несколькими красивыми способами решения иррациональных уравнений.

1. Решим уравнение:

root{3}{2-x}=1-sqrt{x-1}

Мы видим, что в уравнении присутствует корень третьей степени и квадратный корень. Чтобы избавиться от иррациональности, нам пришлось бы, в конечном итоге, возводить уравнение в шестую степень. Можете при желании попробовать самостоятельно этот способ, но мы пойдем другим путем.

Давайте введем замену:

пусть a=root{3}{2-x} и b=sqrt{x-1} , b>=0

Выразим подкоренные выражения:

a^3=2-x , b^2=x-1 ,

Теперь перед нами стоит задачи найти линейную комбинацию покоренных выражений, в результате которой получилось бы просто число. В данном случае все просто: если мы сложим подкоренные выражения, то получим число 1: a^3+b^2=(2-x)+(x-1)=1

Тогда вместо нашего уравнения мы получим систему:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a=1-b} {a^3+b^2=1} }}{ }$

Выразим в первом уравнении через , так как возводить выражение в квадрат проще, чем в третью степень:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{b=1-a} {a^3+b^2=1} }}{ }$

Подставим во второе уравнение:

$a^3+{(1-a)}^2=1$

a^3+a^2-2a=0

a(a^2+a-2)=0

Отсюда:

a_1=0 , a_2=-2 , a_3=1

Найдем соответствующие значения b=1-a :

b_1=1 , b_2=3 , b_3=0 . Условию b>=0 удовлетворяют все значения.

Теперь самое время вернуться к исходной переменной. Вспомним, что, b=sqrt{x-1}

Отсюда sqrt{x-1}=1 , sqrt{x-1}=3 , sqrt{x-1}=0 ,

x_1=2 , x_2=10 , x_3=1

Ответ: {2; 10; 1}

2. Теперь я предлагаю вам рассмотреть решение более сложного иррационального уравнения, уровня С3.

Решим уравнение:

$4x^2+12{x}sqrt{x+1}=27(1+x)$

Введем замену t=sqrt{x+1}

Получим уравнение:

$4x^2+12{x}t=27t^2$

Перенесем все слагаемые влево:

$4x^2+12{x}t-27t^2=0$

Теперь мы видим, что имеем дело с однородным уравнением, и, так как x=-1 не является корнем уравнения (при этом значении х переменная t обращается в ноль), разделим обе части уравнения на t^2

Получим:

$4{x^2}/{t^2}+12{xt}/{t^2}-27{t^2}/{t^2}=0$

$4{(x/t)}^2+12{x/t}-27=0$

Решим квадратное уравнение относительно {x/t}

Получим: {x/t}={3/2} или {x/t}=-{9/2}

Вернемся к исходной переменной.

Теперь нам надо решить два уравнения:

{x/sqrt{x+1}}={3/2} (1)

{x/sqrt{x+1}}=-{9/2} (2)

Решим уравнение (1):

{x/sqrt{x+1}}={3/2}

2x=3sqrt{x+1}

Вспомним, как решаются простейшие иррациональные уравнения и перейдем к равносильной системе:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{9(x+1)=4x^2} {x>=0} }}{ }$

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{4x^2-9x-9=0} {x>=0} }}{ }$

Решим первое уравнение системы. Получим:

x_1=3 , $x_2=-{3/4}$

Условию x>=0 удовлетворяет только корень x=3

Решим уравнение (2):

{x/sqrt{x+1}}=-{9/2}

Возведем обе части уравнения в квадрат и перейдем к равносильной системе:

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{81(x+1)=4x^2} {x<=0} }}{ }$

$delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{4x^2-81x-81=0} {x<=0} }}{ }$

Решим первое уравнение системы. Получим:

$x_1={81-9sqrt{97}}/8$ , $x_2={81+9sqrt{97}}/8$

Условию x<=0 удовлетворяет только корень $x_1={81-9sqrt{97}}/8$

Ответ: x=3 , $x_1={81-9sqrt{97}}/8$

3. И, наконец, я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:

x+sqrt{(x+6)(x-2)}=2+sqrt{x+6}+sqrt{x-2}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение иррациональных уравнений с помощью замены переменной

Инна | Отзывов (12) | Метки: решение задания С3, решение иррациональных уравнений

Отзывов (12)

Следующие комментарии →

Светлана

2012-02-21 в 12:56

Вспомнила сразу школу. У Вас отличный сайт.Порекомендую знакомым.

Ответить
Natabul

2012-02-21 в 18:18

Какой полезный у вас сайт. скоро мои деткам пригодится!

Ответить
Максим

2012-03-10 в 11:21

Получим: x/t = -3/2 ; x/t = -9/2
Тут все значения с минусом, а потом почему идет следущее не так?

приводим к уравнению:
1) x/sqr(x+1) = 3/2 !где тут минус x/t = -3/2

2) x/sqr(x+1) = -9/2 !x/t = -9/2 (все верно)

Ответить
- Инна
  
  2012-03-11 в 07:23
  
  Спасибо, опечатка. Корни уравнения x/t = 3/2 ; x/t = -9/2. Исправила.
  
  Ответить
Владимир

2012-04-03 в 11:16

В последнем уравнении не проще ли сразу же x-2 заменить на b^2?

Ответить
- Инна
  
  2012-04-03 в 12:14
  
  Проще, если решение очевидно.
  
  Ответить
Анна

2012-05-03 в 06:37

Инна,в первую очередь хочу выразить огроооомную благодарность за ваш сайт. Сразу появилась надежда сдать на высший балл) И вопрос. Вот последнее уравнение можно решить заменой х-2 на b^2?? или это неправильно?

Ответить
- Инна
  
  2012-05-03 в 10:11
  
  Можно.
  
  Ответить
Антонина

2013-04-12 в 18:56

Присоединюсь к мнению Владимира. Применив предложенную Вами замену, можно сразу перейти к уравнению b^2+ab= a+b. Воспользовавшись способом группировки представить его в виде (b+a)(b-1)=0.Заменить его совокупностью двух условий : b=1 и b=-a. Из которых только первое имеет право на существование. А значит x=1. Мне показалось это решение более простым. За ролик спасибо.

Ответить
- Инна
  
  2013-04-13 в 05:27
  
  Да, конечно, спасибо!
  
  Ответить
Юрий

2013-09-12 в 13:41

По поводу последнего уравнения:
1. Я бы назвал, решение, представленное в видеоуроке, решением уравнения в общем случае, т.е., когда свободный член может принимать значение не только равное 2, а таких значений бесконечное множество, лишь бы выполнялось x>=2. Подставив, например, x=10 получим свободный член приблизительно 15.
2. В поиске решения в общем случае просмотреть решение в частном случае бывает также легко, как проанализировав общее решение и зная методический подход, увидеть решение в частном случае.
3. Другое дело, на ЕГЭ надо учитывать, что в связи с ограниченным временем составители задач все-таки минимизируют длинные преобразования и сложные вычисления. Поэтому внимательно нужно смотреть не только на выражения, но и на числовые значения.
4. В итоге сложилась хорошая ситуация, когда пример поучителен
во многом.

Ответить