Преобразование графиков функций

Преобразование графиков функций

В этой статье я  познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции получить график функции 

Линейным преобразованием функции  называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

1.  Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
2. Определения порядка преобразований.

Именно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

Рассмотрим внимательно функцию

В ее основе лежит функция . Назовем ее базовой функцией.

При построении графика функции  мы совершаем преобразования графика базовой функции  .

Если бы  мы совершали преобразования функции   в том же порядке , в каком находили ее значение  при определенном значении аргумента, то

• сначала мы бы нашли значение выражения, стоящего под знаком корня: . Обозначим это выражение . Назовем преобразование  внутренним преобразованием, или преобразованием аргумента.
• затем мы бы нашли значение  базовой функции  в этой точке: 
• после этого мы бы совершили преобразование самой функции: . Назовем его внешним преобразованием, или преобразованием функции.

Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

Преобразования аргумента.

1. f(x)  f(x+b)

1. Строим график фунции 

2. Сдвигаем график фунции  вдоль оси ОХ на  |b| единиц

•   влево, если b>0
•   вправо, если b<0

Построим график функции  

1. Строим график функции 

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

2. f(x)  f(kx)

1. Строим график фунции 

2. Абсциссы точек графика  делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

Построим график функции  .

1. Строим график функции 

2. Все абсциссы точек графика  делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

3. f(x)  f(-x)

1. Строим график фунции 

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

Построим график функции  .

1. Строим график функции 

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

4.  f(x)  f(|x|)

1. Строим график функции 

2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:

График функции   выглядит так:

Построим график функции 

1. Строим график функции (это график функции , смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:

3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ

2. Все преобразования аргумента совершаются "наоборот" и "в обратном порядке".

Например, в функции   последовательность преобразований аргумента такая:

1. Берем модуль от х.

2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. - сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы "наоборот")

Затем выполнили преобразование f(x)  f(|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:

Теперь поговорим о преобразовании функции. Преобразования  совершаются

1. Вдоль оси OY.

2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

1. f(x)f(x)+D

1. Строим график функции y=f(x)

2.  Смещаем его  вдоль оси OY  на |D| единиц

• вверх, если D>0
• вниз, если D<0

Построим график функции 

1. Строим график функции 

2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

2. f(x)Af(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

Построим график функции 

1. Построим график функции 

2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

3. f(x)-f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

Построим график функции .

1. Строим график функции .

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

4. f(x)|f(x)|

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

Построим график функции 

1. Строим график функции . Он получается смещением графика функции   вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

y=f(x) |y|=f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

Построим график  уравнения 

1. Строим график функции   :

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

И, наконец,  предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции

График этой функции выглядит так:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.