Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2012-04-06

Главная » СТАТЬИ » ВИДЕОУРОКИ » Преобразование графиков функций

06 Апр 2012

ВИДЕОУРОКИФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Преобразование графиков функций

В этой статье я познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции y=sqrt{x} получить график функции y=delim{|}{2-3sqrt{delim{|}{{1/2}x+2}{|}}}{|}

Линейным преобразованием функции называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
Определения порядка преобразований.

Именно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

Рассмотрим внимательно функцию

y=delim{|}{2-3sqrt{delim{|}{{1/2}x+2}{|}}}{|}

В ее основе лежит функция f(x)=sqrt{x} . Назовем ее базовой функцией.

При построении графика функции y=delim{|}{2-3sqrt{delim{|}{{1/2}x+2}{|}}}{|} мы совершаем преобразования графика базовой функции f(x)=sqrt{x} .

Если бы мы совершали преобразования функции y=delim{|}{2-3sqrt{delim{|}{{1/2}x+2}{|}}}{|} в том же порядке , в каком находили ее значение при определенном значении аргумента, то

сначала мы бы нашли значение выражения, стоящего под знаком корня: . Обозначим это выражение . Назовем преобразование внутренним преобразованием, или преобразованием аргумента.
затем мы бы нашли значение базовой функции в этой точке:
после этого мы бы совершили преобразование самой функции: . Назовем его внешним преобразованием, или преобразованием функции.

Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

Преобразования аргумента.

1. f(x) f(x+b)

1. Строим график фунции y=f(x)

2. Сдвигаем график фунции y=f(x) вдоль оси ОХ на |b| единиц

влево, если b>0
вправо, если b<0

Построим график функции y=sqrt{x-2}

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

2. f(x) f(kx)

1. Строим график фунции y=f(x)

2. Абсциссы точек графика y=f(x) делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

Построим график функции y=sqrt{2x} .

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Все абсциссы точек графика y=sqrt{2x} делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

3. f(x) f(-x)

1. Строим график фунции y=f(x)

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

Построим график функции y=sqrt{-x} .

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:

График функции y=sqrt{delim{|}{x}{|}} выглядит так:

Построим график функции y=sqrt{delim{|}{x}{|}+2}

1. Строим график функции y=sqrt{x+2} (это график функции y=sqrt{x} , смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:

3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ

2. Все преобразования аргумента совершаются "наоборот" и "в обратном порядке".

Например, в функции y=sqrt{delim{|}{x}{|}+2} последовательность преобразований аргумента такая:

1. Берем модуль от х.

2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. - сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы "наоборот")

Затем выполнили преобразование f(x) right f(|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:

Теперь поговорим о преобразовании функции. Преобразования совершаются

1. Вдоль оси OY.

2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

1. f(x)f(x)+D

1. Строим график функции y=f(x)

2. Смещаем его вдоль оси OY на |D| единиц

вверх, если D>0
вниз, если D<0

Построим график функции y=sqrt{x}+2

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

2. f(x)Af(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

Построим график функции y=2sqrt{x}

1. Построим график функции y=sqrt{x}

2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

3. f(x)-f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

Построим график функции y=-sqrt{x} .

1. Строим график функции y=sqrt{x} .

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

4. f(x)|f(x)|

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

Построим график функции y=delim{|}{sqrt{x}-2}{|}

1. Строим график функции y=sqrt{x}-2 . Он получается смещением графика функции вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

y=f(x) |y|=f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

Построим график уравнения delim{|}y{|}=sqrt{x}-2

1. Строим график функции y=sqrt{x}-2 :

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

И, наконец, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции

y=delim{|}{2-3sqrt{delim{|}{{1/2}x+2}{|}}}{|}

График этой функции выглядит так:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Инна | Отзывов (28) | Метки: функции и графики

Отзывов (28)

← Предыдущие комментарии

Следующие комментарии →

игорь

2015-09-10 в 11:36

Спасибо, очень внятно изложено — прямо на урок.

Ответить
Lika

2015-11-05 в 11:28

Здравствуйте Инна! Небольшое замечание: формула |y|=sqrt(x)-2 НЕ задает ФУНКЦИЮ по определению, так как каждому значению х>4 соответствует ДВА различных значения функции..:)

Ответить
- Инна
  
  2015-11-05 в 12:09
  
  Конечно, спасибо! Я сама об этом сказала тремя строчками выше)
  
  Ответить
Александр

2016-01-10 в 07:47

Здраствуйте помогите решить преобразование как не пыиался несмог решить: у=|3-2х-х^2|+1. За ранее спс

Ответить
- Инна
  
  2016-01-11 в 01:53
  
  |-a|=|a|
  1. строим график $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  2. строим график $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ — отображаем часть графика, лежащую ниже оси ОХ относительно этой оси.
  3. строим график $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ — сдвигаем вверх на 1 единицу.
  
  Ответить
Денис

2016-06-09 в 20:44

Здравствуйте,как построить график функции y=sin(x)-cos(x)?Заранее спасибо!

Ответить
- Денис
  
  2016-06-09 в 20:55
  
  1)строим график косинуса
  2)строим график синуса(в одних координатных осях)
  3)вычитаем из координат графика косинуса координаты графика синуса
  
  Ответить
- Инна
  
  2016-06-10 в 14:36
  
  Можно так: $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  строим $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ , сдвигаем на $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$ вправо, затем умножаем на $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
Мария

2018-11-13 в 11:23

Здравствуйте. Подскажите, пожалуйста, как построить график y = 1\f(x), если задана функция f(x)?

Ответить
- Инна
  
  2018-11-13 в 12:16
  
  Построить график f(x), в точках, где f(x)=0 будут вертикальные асимптоты, смотреть, что происходит на бесконечности, а в остальных точках брать обратные значения аргумента.
  
  Ответить
ЕКАТЕРИНА

2020-03-31 в 06:14

Огромное спасибо умница.График записан с ошибкой последний нужно написать корень из IхI+2 НА ПОСЛЕДНЕМ ГРАФИКЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПО ОСИ ОХ

Ответить
- Инна
  
  2020-03-31 в 14:46
  
  Спасибо, исправила.
  
  Ответить
Олег

2021-01-14 в 12:40

подскажите пожалуйста как построить график функции y=/-7^(x+3)-6/+1

Ответить
- Инна
  
  2021-01-14 в 13:14
  
  1) строим $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  2) сдвигаем график на 3 единицы влево
  3) отображаем относительно оси ОХ (переворачиваем)
  4) сдвигаем на 6 единиц вниз
  5) часть графика, расположенную ниже оси ОХ отображаем относительно этой оси
  6) то, что получилось, сдвигаем на 1 единицу вверх.
  Можно было под знаком модуля умножить на (-1), тогда получится $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  тогда:
  1) строим $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  2) сдвигаем график на 3 единицы влево
  3) сдвигаем график на 7 единиц вверх
  
  Ответить